付値体(ふちたい、)とは、乗法付値により得られる距離に対する距離空間の位相が入った位相体のことを付値体という。体 "K" の乗法付値 formula_1 で付値体になるとき、formula_2 と表す。付値体 formula_2 に対して、乗法付値 formula_1 がアルキメデス付値であるとき、アルキメデス付値体、非アルキメデス付値のとき、非アルキメデス付値体という。付値体の位相体としての性質は、項目位相体を参照のこと。体 "K" 上の乗法付値 formula_1 が離散付値であるとき、付値体 formula_2 を離散付値体という。離散付値 formula_1 に対する付値環、付値イデアルを formula_14 とおき、 formula_1 の素元を π とし、1 より大きい正数 "q" をが満たされる様にとると ight. ight} (n=1,2,ldots)であり、便宜的に formula_16 とおくとは "K" の 0 に対する基本近傍系となる。また、乗法群 formula_17 に対して ight. ight} (n=0,1,2,ldots)とおくとが成立し、formula_18 は formula_17 の 1 に対する基本近傍系となる。また、各 "n" に対して、formula_20 は "K" の単数群 formula_21 の部分群となる。これを "n" 次主単数群といい、特に formula_22 を主単数群という。上記の付値イデアルのベキおよび "n" 次主単数群に対して、以下のことが成立する。各 formula_23 に対してが成立する。付値体 formula_2 の数列 formula_25 がコーシー列または基本列であるとは、任意の正数 ε に対して、ある整数 "N" が存在して、"N" より大きい任意の整数 "m

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