位相空間論における開かつ閉集合（かいかつへいしゅうごう、"closed-open set"）は与えられた位相空間の位相に関して開集合にも閉集合にもなっているような部分集合のことである。かばん語にして開閉集合（かいへいしゅうごう、"clopen set"）と呼ぶこともある。任意の位相空間 "X" において空集合および全体集合 "X" は、位相空間の定義により、ともに常に開かつ閉である考える空間 "X" を実数直線 R の二つの区間 [0,1] および [2,3] の和集合とし、"X" の位相を R の通常の位相からくる相対位相とすると、[0,1] および [2,3] はともに "X" における開かつ閉集合となる。これは典型的な例であって、考えたい空間が先ほど見たように有限個の互いに交わらない連結成分からなるならば、各連結成分はその空間の開かつ閉集合となる。もう少し非自明な例としては、有理数全体の成す空間 Q が絶対値からくる通常の位相を備えるものとし、部分集合 "A" を正の有理数でその平方が 2 よりも大きくなるようなもの全体とする。√2 が Q に属さないという事実を利用すれば、"A" が Q において開かつ閉であることを示すのは容易である（注意すべきは、"A" は実数直線 R の部分集合としては開かつ閉ではないことである。そもそも "A" は R の開集合にも閉集合にもならない）。

出典:wikipedia