PID制御（ピーアイディーせいぎょ、Proportional-Integral-Differential Controller、PID Controller）は、制御工学におけるフィードバック制御の一種であり、入力値の制御を出力値と目標値との偏差、その積分、および微分の3つの要素によって行う方法のことである。制御理論の一分野をなす古典制御論の枠組みで体系化されたもので長い歴史を持っている。フィードバック制御の基礎ともなっており、様々な制御手法が開発・提案され続けている今に至っても、過去の実績や技術者の経験則の蓄積により調整を行いやすいため、産業界では主力の制御手法であると言われている。基本的なフィードバック制御として比例制御（P制御）がある。これは操作量を制御量と目標値の偏差の一次関数として制御するものである。ここで、ある制御対象の制御する量を制御量、出力などと呼び、制御量に追従させたい希望の値を目標値と呼び、目標値を得るため制御対象を操作する量あるいは制御対象に入力する量を操作量、入力などと呼ぶ。ある時刻"t"での操作量を"u"("t")、出力値を"y"("t")、目標値を"r"("t")とすると、となる。目標値と現状の制御量との差を、制御偏差、偏差などと呼ぶ。"e"("t") = "y"("t") - "r"("t")とおくと、と表される。さらに、ラプラス変換にもとづく伝達関数で上記の式を表現すると、となる。ここで、"s"は複素数である。よって、P制御を行う調節器の伝達関数"C"(s)とすれば、以下のようになる。PID制御では、この偏差に比例して操作量を変化させる動作を、比例動作あるいはP動作（PはProportionalの略）という。定数"K"は比例ゲイン、Pゲインと呼ばれる。比例制御においては"K"を変えない限り、入力値に対して出力値は常に決まっている。しかし、実際に制御を行う場合には同じ入力値に対しても周囲の環境などによって出力値を変えなければならないことがある。例えばある装置の温度を60℃に保ちたいときにその外気温が10℃のときと30℃のときでは加熱に必要な熱量を変えなければならない。このような状況下で外気温が10℃の時に、外気温が30℃の時に60℃に到達するKの値を使用して比例制御を行うと、熱量が足りず目標値に到達することができない。このようにして生じる制御結果と目標値との偏差を定常偏差またはオフセットという。残留偏差をなくすために周囲の環境が変わるたびに最適の"K"を決定しなおすのは難しい。そこでと2つ目の項を付け加える。この項は残留偏差が存在する場合、その偏差の時間積分に比例して入力値を変化させる動作をする。つまり偏差のある状態が長い時間続けばそれだけ入力値の変化を大きくして目標値に近づけようとする役目を果たす。定数"K"は積分ゲイン、Iゲインと呼ばれる。また、積分ゲインを"K" = "K" / "T"で表し、上式に代入すると、この"T"は積分時間と呼ばれる。積分時間の物理的意味は、ある一定の大きさのオフセットが継続した（つまり"e"("t")が一定）のときにP動作とI動作の項が同じになるのに要する時間である。P制御と同じく、PI制御を伝達関数で表現すれば、となる。PI制御の伝達関数"C"(s)は以下のようになる。この偏差の積分に比例して入力値を変化させる動作を積分動作あるいはI動作（IはIntegralの略）という。上記のように比例動作と積分動作を組み合わせた制御方法はPI制御という。積分時間が小さいほどI動作の寄与が大きくなり残留偏差の矯正が迅速に行われるが、小さすぎると目標値を行き過ぎたり（オーバーシュート）、目標値の前後を出力値が振動したり（ハンチング）する現象を起こすことがある。積分動作は制御系の位相を遅らせる効果を持つので系を不安定にしやすい。一方、周囲の環境が変化したり制御対象に撹乱が加わったりすることで出力値が急に変動することがある。このような場合にもPI制御は出力値を目標値に常に近づけようとする。しかし、I動作はある程度時間が経過しないと働かないため、どうしても出力値を目標値に戻すために時間がかかる。上記のようなPI制御の問題点を解決するために、

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