超階乗（ちょうかいじょう、）とは階乗を拡張した関数であり、formula_1 と表記される。超階乗には、幾つかの異なる定義が存在する。は1995年に "Keys to Infinity" において、次の超階乗を定義するために新しい表記 formula_1 を用いた。ハイパー演算子、テトレーション、クヌースの矢印表記、コンウェイのチェーン表記を用いた場合は次のようになる。超階乗は通常は巨大な数になるが、0, 1, 2 の超階乗はそれぞれ 0$ = 1$ = 1, 2$ = 4 と小さな値にしかならない。3$ は、巨大な数とはいえ、その構造は驚くほど単純である。すなわち、幾つかの「6」の掛け合わせに過ぎない。「6」を順次掛けていって、下4桁の数の出現の様子を精査すると、最初から数えて4番目の数から125個の数が循環して現れる。この性質に着目すると、3$ そのものは計算によって全ての桁を求めることは事実上不可能であるが、その下4桁の数が「8656」であることは直ぐに分かる。5$ は 3$ よりもさらに巨大な数であり、計算によって全ての桁を求めることは事実上不可能であるが、120 = 12 × 10 であるため、下位48％あまりの桁が0となる自然数である。ニール・スローンとサイモン・プラウフは1995年に "The Encyclopedia of Integer Sequences" において、最初の formula_11 個の階乗の積として超階乗を定義した。この超階乗はファンデルモンド行列の行列式としても与えられる。この超階乗は次の式を満たす。ここで formula_14 はバーンズのG関数、formula_15 はハイパー階乗である。最初の幾つかの値は次のように与えられる。

出典:wikipedia