マチンの公式("Machin's formula") とは、1706年にイギリスの天文学者ジョン・マチンによって発見された逆三角関数を用いた円周率を計算するための公式である。グレゴリ級数に、"x" = 1 を代入して得られる級数（ライプニッツの公式）は、見た目は綺麗な公式であるものの収束が非常に遅いことで知られる。しかし、"x" を十分小さく取れば見た目の綺麗さは多少損なわれるが、それなりに速く収束する級数が得られる。実際、シャープは "x" = を用い、円周率を小数点以下 71 桁まで計算した。ジョン・マチンは、さらに収束性をよくするために逆正接関数 arctan "x" の関係式を考え、グレゴリ級数と結び付けて、とても収束の速い級数を得た。この公式を発見したマチン自身も円周率を 100 桁まで求めることに成功した。マチンの公式や、似たような arctan "x" を用いた公式は、1970年代に算術幾何平均などが用いられるようになるまでは円周率の計算に用いられ計算競争に貢献した。その後しばらくは新しいアルゴリズムによる円周率の計算が続いたが、2002年に金田康正によって高野喜久雄の公式が用いられ円周率を 1兆2411億桁まで計算するという記録に結び付いた。等式をマチンの公式という。この項目では arctan "x" は主値を取るものとする。同じことであるが、逆余接関数 arccot "x" を用いてと書かれることもある。マチンの公式は三角関数の公式をそのまま用いて証明できる。を満たす "a" を取る。二倍角公式を2回用いると、さらに加法定理によりしたがって"a

出典:wikipedia