ルベーグ測度（ルベーグそくど、）とは、数学において、ユークリッド空間上の長さ、面積、体積の概念を拡張したものである。この呼び名はフランスの数学者アンリ・ルベーグにちなむ。体積には「直和集合の体積は元の体積の和」という性質（加法性）がある。この性質を保ちながらより複雑な集合に対しても「体積」を定めることができるよう体積の概念を拡張できる。このような拡張は一意である。実解析、特にルベーグ積分で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として ∞ をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、選択公理によって R の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを証明できる。ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。以下の説明ではルベーグ可測な集合 "A" の測度を λ("A") で表す。"n" 次元ユークリッド空間 R の "n" 次元ルベーグ測度は次のような性質を持つ。ルベーグ測度の現代的構成はカラテオドリの拡張定理を利用する、以下のようなものである。自然数 "n" を固定して、R 内の（"n"-次元）区間あるいは超矩形 とは、（一次元）区間の直積の形（但し、 であるものとする）に書ける R の部分集合の総称である。この区間 "B" の容積 (volume) vol("B") はで与えられる。R の（高々）可算個の区間からなる区間族を総称して、R の区間塊という。R の任意の部分集合 "A" に対して、R の区間塊をBとするとき、"A" の外測度 λ("A") をで定める。ただしここでの下限は、その和が "A" を被覆するような区間塊 B 全体に亘ってとるものとする。さらに、R の部分集合 "A" がルベーグ可測であるとは、R の任意の部分集合 "S" に対して、カラテオドリの条件が成り立つこと：を満たすこととする。ルベーグ可測な集合全体は完全加法族を成し、そのうえのルベーグ測度 λ が、任意のルベーグ可測集合 "A" に対して λ("A") = λ("A") とおくことによって与えられる。ヴィタリの定理によれば、実数全体 R の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する。もっと一般に、R の任意の部分集合 "A" に対し、"A" はルベーグ非可測な部分集合を必ず含む。ルベーグ可測でない集合の "奇妙な" ふるまいとしては、選択公理の結果であるバナッハ＝タルスキーのパラドックスがあげられる。アンリ・ルベーグが1899年から1901年にかけてフランスの科学誌「コント・ランデュ」() に投稿した 6 報の論文のうち、最初のものを除く 5 報が測度に関するものであった。その内容は、続く1902年に、彼の博士論文「積分・長さ・面積」の一部として発表された。

出典:wikipedia