微分方程式（びぶんほうていしき、differential equation）とは未知関数とその導関数の関係式として書かれている関数方程式である。物理法則を記述する基礎方程式は多くが時間微分、空間微分を含む微分方程式であり、物理学からの要請もあり微分方程式の解法には多くの関心が注がれてきた。微分方程式論は解析学の中心的な分野で、フーリエ変換、ラプラス変換等はもともと微分方程式を解くために開発された手法である。また物理学における微分方程式の主要な問題は境界値問題、固有値問題である。線型微分方程式の研究は歴史が長く。それに比して、非線型微分方程式の研究は歴史が浅く比較的簡単な方程式しか解析できていない。例えばナビエ-ストークス方程式は、流体の支配方程式として重要であるが、その解の存在性は未解決問題でありミレニアム懸賞問題にも選ばれている。その他有名な微分方程式についてはを参照。微分方程式は方程式に含まれる導関数の階数 () によって分類され、最も高い階数が 次である場合、その微分方程式を 階微分方程式 () と呼ぶ。いずれの場合も未知関数は一つとは限らず、また、連立する複数の微分方程式を同時に満たす関数を解とするような連立方程式の形を取る場合もある。これは連立 階微分方程式などと呼ばれる。一変数関数の導関数の関係式で書かれる常微分方程式 () と多変数関数の偏導関数を含む関係式で書かれる偏微分方程式 () に分かれる。常微分方程式とは例えば、や、のような方程式である。また、偏微分方程式は、や、のような格好をした方程式である。未知関数とその導関数の関係式が、未知関数や導関数を変数と見たときに解析関数を係数とする多項式である場合、代数的微分方程式と呼ばれる。方程式が未知関数の一次式として書けるような方程式を線型微分方程式 () と呼ぶ。また、線型でない微分方程式は非線型微分方程式 () と呼ばれる。例えば、 を を含まない既知の関数とすれば、は線型微分方程式であり、は非線型微分方程式である。線型と呼ばれる理由は後述する線型斉次な方程式について、解の線型結合がその方程式の一般解をなすためである。未知関数が 1 つの場合、高階の線型微分方程式を一階線型微分方程式の形に書き直すことができる。たとえば、 を既知関数の組として、以下の線型微分方程式が与えられたとき、

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