指数分布(しすうぶんぷ・)とは、確率論および統計学における連続確率分布の一種である。或る離散的な事象に対して、ポアソン分布が単位時間当たりの生起確率を示し、指数分布は生起期間の確率を示す。指数分布は、正のパラメータλに対して確率密度関数がで与えられる分布である。このとき、累積分布関数はとなる。尺度母数formula_3を用いると、確率密度関数の等価な定義はとして与えられる。定義より、期待値"E"("x")および分散"V"("x")はそれぞれ以下のようになる。指数分布はガンマ分布(アーラン分布)で形状母数を1とした特殊なケースである。また、自由度2のカイ二乗分布はformula_6の指数分布と一致する。ワイブル分布における係数"m"=1とおいた特殊なケースでもある。ポアソン分布とも密接な関連を持つ。すなわち、単位時間ごとに生起する事象の数がパラメータλのポアソン分布に従うとき、そのような事象の生起間隔はパラメータλの指数分布に従う。指数分布は、幾何分布と同様に無記憶性(memoryless)と呼ばれる性質を持つ。これは、確率変数"X"がなる等式を満たすことをいう。すなわち、時刻"s"までに事象が生起しなかったという情報が与えられたとき、その事象がさらに"t"時間の間生起しない条件付き確率は、(時刻"s"まで事象が生起しなかったという情報が完全に忘れ去られ、改めてその時点から観測を始めて)"t"時間の間事象が生起しない確率に一致するという意味である。上述した確率分布関数の定義より、指数分布に従う確率変数がこの性質を満たすことは容易に示される。逆に、この性質を満たす連続確率分布が指数分布のみであることも証明されている。

出典:wikipedia