ハーシャッド数（ハーシャッドすう、）は、自然数のうち、各桁の数字の和（数字和）が元の数の約数であるような数である。例えば195は各桁の数字の和が 1+9+5=15 であり、15は195の約数であるので195はハーシャッド数である。ハーシャッド数はインドの数学者D.R.Kaprekarによって定義され、サンスクリット語の （喜び）と （与える）が語源である。ハーシャッド数は無数にあり、そのうち最小の数は1である。十進法でのハーシャッド数を1から小さい順に列記すると自然数Xがn進法でm桁の数であり、右端からi桁目の数字がa 、0≦a≦n-1 とするとであり、を満たす自然数Aが存在するときXはn進法でのハーシャッド数である。n進法の場合、1からnまでの数およびn(kは正整数)は必ずハーシャッド数である。特に1,2,4,6の4数だけは何進法においてもハーシャッド数となる。ハーシャッド数は1桁の素数と10自体が素数である場合を除いて全て合成数である。H.G.Grundmanは1994年に、十進法では21個以上の連続する自然数が全てハーシャッド数になるような組はないことを証明した。また彼は20個の連続する自然数が全てハーシャッド数になる最小の組を見つけ、それらは 10 を超える数である。二進法では4つの連続する自然数が全てハーシャッド数であるような組は無数に存在し、三進法では6つの連続する自然数が全てハーシャッド数であるような組が無数に存在する。これらの事実はT.Caiによって1996年に証明された。一般的にそれらの数の組はn進法で N×n-n から N×n+(n-1) までの連続する2n個の数である。ここでNはある定数でkは比較的大きな数である。間に0が連続して続く数を使って無数にハーシャッド数を作ることができる。例えば21を使うと、21, 201, 2001, 20001 などは全てハーシャッド数になる。自然数x以下のハーシャッド数の個数をN(x)とおくと、どんな正の数εに対しても以下の式が成り立つ。これはJean-Marie De Koninck と Nicolas Doyon によって証明された。De Koninck、Doyon、Kátaiはまたを証明した。ただし c=(14/27)log10=1.1939…

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