ゴールドバッハの予想とは、次のような加法的整数論上の未解決問題の一つである。この予想は、ウェアリングの問題などと共に古くから知られている。4 × 10 まで成立することが証明されていて、一般に正しいと想定されているが、多くの努力にもかかわらず未だに証明されていない。予想には、ほとんど同値ないくつかの述べ方があり、次のように述べることが多い：このとき、同じ素数を2度使っても良いものとする。例えば、20までの偶数を奇素数の和で表す場合は、のように、二つの奇素数の和で表すことができている。2012年現在、4×10までの全ての偶数について成り立つことが、コンピュータによって確かめられている。ゴールドバッハの名を冠するのは、上と同値な次のような予想を、クリスティアン・ゴールドバッハ（Christian Goldbach, 1690年 - 1764年）がレオンハルト・オイラーへの書簡（1742年）で述べたことによる。これから上が導けるのは、偶数を三つの素数の和で表すと素数の一つは 2 になっているからである（奇数+奇数+奇数=奇数になる。和が偶数になるには、奇数+奇数+偶数か、偶数+偶数+偶数しかない）。多くの数学者は、素数分布の確率に関する統計学的な観察から、この予想は正しいと考えている（偶数が大きければ大きいほど、二つの素数の和で表されるというのはより"ありそうな"ことなのである）。類似の予想として、「弱いゴールドバッハ予想」というものがある。これは5より大きい奇数は三つの素数の和で表せるという予想である。4より大きい偶数が二つの奇素数の和で表せるという「強いゴールドバッハ予想」が正しいならば、弱いゴールドバッハ予想も真である。これはならばであることから明らかである。ここでpおよびpは奇素数である。また、一般化されたリーマン予想が正しいならば、弱いゴールドバッハ予想が導かれることが知られている。素数の確率分布に焦点を当てた統計的な考察は、十分に大きな整数に対して（弱い形も強い形も両方とも）この予想を支持する非公式な情報をもたらしている。整数が大きくなればなるほど、2つ 3つの他の数の和で表すことが可能な組み合わせの数が多くなり、これらの表現が素数だけで和を表すことすくなくとも一つはより「ありそう」になっている。(heuristic)な確率的な議論（ゴルドバッハ予想の強い形にたいする）の非常に厳密なバージョンは、次のようになっている。素数定理は、ランダムに選ばれた整数 m は、大まかには formula_5 の確率で素数になる機会を持っている。従って n が大きな偶数であり m が 3 と n/2 の間の整数であれば、m と n − m が同時に素数である確率は、formula_6 である。この発見的方法をつづけると、大きな偶数の n を大まかに次の確率で 2つの素数の和として表すことができる方法の全体の数を見積もることができる。この量は n が増えるにつれて無限大に近づくので、大きな偶数を取ると 2つの素数の和として表すのでなく、実際は非常多くのそのような方法で表すことができることと見積もることができる。この発見的な議論は実際は少し不正確である。理由は、m と n − m が素数であるという事象が、互いに統計的に独立である(statistically independent)あることを前提としているからである。例えば、m が奇数であれば、n − m もまた奇数であり、m が偶数であれば n − m もまた偶数であるから、（2を除き）奇数だけが素数でありうるから非自明な関係となるからである。同様にして、n が 3 で割り切れ m が既に 3 とはことなる素数であれば、n − m は 3 とは互に素であることとなり、このように一般の数よりも素数となる確率は少し小さくなる。このタイプの解析を注意深く行い、ハーディ(G. H. Hardy)とリトルウッド(John Edensor Littlewood)は、1923年に（彼らの有名なハーディ・リトルウッドの素数三重予想の一部として）任意の固定された c ≥ 2 に対し、大きな n が formula_8 である c 個の素数の和 formula_9 と表される表し方の数は、(asymptotically)に次に等しいであろうと予想した。ここに、積は全ての素数 p を渡り、formula_11 は合同式の方程式formula_12 の解の数である。ここで、formula_13 は(constraint)である。この公式は、(Ivan Matveevich Vinogradov)の仕事から、c ≥ 3 に対して漸近的に成り立つことが厳密に証明された。しかし、formula_14 のときは依然として予想にすぎない。formula_14 には、上の公式は n が奇数のときは 0 に単純化され、n 偶数のときは、となる。ここに formula_17 は(twin prime constant)であり、と表される。この公式は拡張されたゴルドバッハ予想として知られている。強いゴルドバッハ予想は、実際、双子素数予想と非常に似ていて、2つの予想は大まかには同じくらいの難易度であろうと信じられている。2013年、プロヴァティディス他は、「親指の法則」という表現の数の下界についてレポートした。ここに示されたゴルドバッハの分配函数は、上の方程式を見やすく表現したヒストグラムにして示すことができる。(Goldbach's comet)を参照。強いゴールドバッハ予想は、より非常に難しい。(Vinogradov)の方法を使い、(Chudakov) や、(Van der Corput) や (Estermann) は、ほとんど全ての偶数が 2つの素数の和として表すことができることを示した（この意味は、そのように書くことのできる偶数の確率が 1 に近づく傾向にあるという意味である)。1930年、(Lev Schnirelmann)はで、任意の 1 より大きな自然数は C 個よりも多くない素数の和として書き表すことができることを証明した。ここに C は有効に計算可能な定数である。シュニレルマン密度を参照。シュニレルマンの定数(Schnirelmann's constant)は、この性質を持つ最も小さな数であり、シュニレルマン自身は C < 800000 を得た。この結果は多くの人々により拡張されている。現在、最も良い結果として知られているものは、(Olivier Ramaré)によるもので、1995年に全ての偶数 n  ≥ 4 は実際、多くとも 6つの素数の和であることが知られている。事実、弱いゴルドバッハ予想の解法は、直接、全ての偶数 n  ≥ 4 が多くとも 4つの素数の和であることを意味する。陳景潤(Chen Jingrun)は、1973年に篩法を使い、全ての十分に大きな偶数は 2つの素数の和として書き表されるか、もしくは一つの素数と半素数（2つの素数の積）の和として書き表すことができることを示した。例を上げると、100 = 23 + 7·11　を参照。1975年、(Hugh Montgomery)と(Robert Charles Vaughan)は、「ほとんど」全ての偶数は 2つの素数の和として表すことができることを示した。詳しくは、正の数 c と C が存在して、全ての十分に大きな数 N に対して、N よりも小さな数は 2つの素数の和であることを、彼らは示した。この例外は、多くとも formula_19 である。特に、2つの素数の和であらわされない偶数の集合は(natural density)ゼロである。(Yuri Linnik)は、1951年、全ての十分に大きな偶数が 2つの素数と 2 の 高々 K 乗との和として表せるような K が存在することを証明した。(Roger Heath-Brown)と(Jan-Christoph Schlage-Puchta)は、2002年に、K = 13 であることを発見した。 これは、2003年に(János Pintz)と(Imre Z. Ruzsa)により K=8 と改善された。数学の多くの有名な予想と同じように、ゴールドバッハ予想を解いたと主張する多くの「証明」があるが、数学の学会では受け入れられていない。弱いゴールドバッハ予想について考慮すべき仕事として、2013年にハラルド・ヘルフゴット(Harald Helfgott)により提出されている論文がある。この論文は、全ての 7 より大きな奇素数に対して予想を完全に証明したとする論文である（前の結果は formula_20 よりも大きな数に対しては証明されたとしていたものである）。素数を、例えば平方数のような他の特別な数の集合に置き換えると、同じような問題を考えることができる。

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