以下の積分をそれぞれ、第一種、第二種、第三種の楕円積分（だえんせきぶん）という。dt}formula_1formula_2formula_3を母数（modulus）、formula_4を特性（characteristic）という。母数formula_5の代わりにパラメーターformula_6、或いはモジュラー角formula_7を用いることもあり、慣れない人を混乱させる種になっている。日本語の場合は、特性formula_4を助変数（通常はparameterの訳語）と称することもあるので更に注意が必要である。楕円の弧長など、三次式、或いは四次式の平方根の積分は楕円積分に帰着し、初等的に求まらないことが知られている。最初に示したものはヤコービの標準形であるが、ヤコービの標準形においてformula_9と置けば幾らか簡単なルジャンドルの標準形が得られる。d heta}formula_10formula_11formula_12の場合は逆三角関数に、formula_13の場合は逆双曲線関数になる。dt}=int_0^{sin^{-1}x}{frac1{sqrt{1-sin^2 heta}}}(sin heta)'d heta=sin^{-1}xformula_14formula_15formula_16また特にformula_17のとき、第三種楕円積分は第二種楕円積分で表すことができて、となる。第一種完全楕円積分は、第一種楕円積分の積分範囲をformula_18までとしたものである。formula_19のテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると}d heta\&=int_0^{pi/2}{left(1+sum_{n=1}^{infty}{frac{(2n-1)!!}{2^n}frac{(k^2sin^2 heta )^n}{n!}} ight)}d heta\&=frac{pi}{2}+sum_{n=1}^{infty}{frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^{2n}int_0^{pi/2}{sin^{2n} heta}d heta}\&=frac{pi}{2}+sum_{n=1}^{infty}{frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^{2n}frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}frac{pi}{2}}\&=frac{pi}{2}left(1+sum_{n=1}^{infty}{left(frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} ight)^2k^{2n}} ight)\&=frac{pi}{2}sum_{n=0}^{infty}{left(frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} ight)^2k^{2n}}\となる。ただし、formula_20と定義する。第二種完全楕円積分は、第二種楕円積分の積分範囲をformula_18までとしたものである。formula_19のテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると}d heta\&=int_0^{pi/2}{left(1-sum_{n=1}^{infty}{frac{(2n-1)!!}{(2n-1)2^n}frac{(k^2sin^2 heta )^n}{n!}} ight)}d heta\&=frac{pi}{2}-sum_{n=1}^{infty}{frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}int_0^{pi/2}{sin^{2n} heta}d heta}\&=frac{pi}{2}-sum_{n=1}^{infty}{frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}frac{pi}{2}}\&=frac{pi}{2}left(1-sum_{n=1}^{infty}{left(frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} ight)^2frac{k^{2n}}{2n-1}} ight)\&=frac{pi}{2}sum_{n=0}^{infty}{left(frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} ight)^2frac{k^{2n}}{1-2n}}\となる。ただし、formula_20と定義する。次の恒等式をルジャンドルの関係式という。次の恒等式をランデン変換という。次の恒等式をガウス変換という。楕円formula_24の弧長は、=int{sqrt{1+left(frac{dy}{dx} ight)^2}}dx\&=int{sqrt{1+left(mpfrac{cx}{sqrt{1-x^2}} ight)^2}}dx\&=int{sqrt{frac{1-x^2+c^2x^2}{1-x^2}}}dxとなる。離心率formula_25を用いれば、上式は、となり、第二種楕円積分が現れる。したがって、楕円の円周上でformula_26座標がformula_27の点からformula_26座標がformula_26の点までの弧長はformula_30となる。ここでformula_12とすれば楕円は真円になり、弧長はformula_32となる。（ここではformula_33がformula_26軸の方向になっていることに注意すること。）

出典:wikipedia