多項式（たこうしき、）は、多数を意味する と部分を意味する あるいは を併せた語で、定数および変数あるいは不定元の和と積のみからなり、代数学の重要な対象となる数学的概念である。歴史的にも現代代数学の成立に大きな役割を果たした。不定元がひとつの多項式は のような形をしている。各部分 ", ", ", " のことを項（こう、"term"）と呼ぶ。一つの項だけからできている式を単項式 (monomial)、同様に二項式 (binomial)、三項式 (trinomial) などが、"-nomial" にラテン配分数詞を付けて呼ばれる。すなわち、多項式とは「多数」の「項」を持つものである。単項式の語が頻出であることに比べれば、二項式の語の使用はやや稀、三項式あるいはそれ以上の項数に対する語の使用はごく稀で一口に多項式として扱う傾向があり、それゆえ単項式のみ多項式から排他的に分類するものもある。また多項式のことを整式 (integral expression) と呼ぶ流儀もある。多項式同士の等式として与えられる方程式は多項式方程式と呼ばれ、特に有理数係数の場合において代数方程式という。多項式方程式は多項式函数の零点を記述するものである。 を不定元（変数）、 を非負の整数として、 を 個の実数または複素数などの定数としての形に表される式を一元 (univariate) あるいは一変数 (univariable) の多項式と総称する。多項式は総和を表す記号 を使ってとも記される。このとき、 とは多項式（単項式）としての のことである。係数の属する集合が であるような を不定元とする多項式の全体を で表す。たとえば実数係数の多項式の全体は 、複素数係数の多項式の全体は などと表す。係数の集合 は四則演算の定義されるような代数系であるのが通常で、多くはとくに体と呼ばれる四則演算が自由に行えるものを想定することになる。もうすこし一般の（必ずしも可換でない、単位元を持つとは限らない）環 についても、それを係数にもつ多項式が定義される。環 に対し、不定元 と任意の非負整数 に対し、新たな不定元 を用意する。ただし、 は自然に と同一視する。不定元の冪 の定数倍、すなわち の元を 次の単項式と呼ぶ。このとき、適当な をとってできる、単項式の形式的な線型結合(すべての に対して ) を を不定元とする 上の（あるいは、係数 を にもつ）多項式と呼ぶ。ただし は と同一視する。 を不定元とする 上の多項式全体の成す集合を と表し、 を の係数環とよぶ。 は によって に埋め込まれ、通常この同一視によって と見なされる。単位的可換環 上の多項式の全体 において() に対し、などの演算が定義される。特に積は、不定元 と環 の任意の元 に対して、 が成り立つと仮定して、分配法則が成り立つように定義されているので、 は 上の多元環になる。これを を不定元とする 係数の（一変数）多項式環あるいは簡単に、環 上の多項式環ともいう。 が単位的環であるなら、多項式環 も単位的環であり、 が可換なら多項式環 も可換環である。多項式環の単元群は係数環 の単元群に等しい。体 上の一変数多項式環 はユークリッド環であり、余りのある除法を定義することができる。単位的可換環 上の多項式において、 に対して、変数 を に置き換えて得られる式を と記して に を代入（だいにゅう、"substitute"）した値という。特に を満たす値 を多項式 の根あるいは零点という。は から への環準同型となる。一般に単位的可換環 とその間の準同型 が与えられているとき、 の元 に対して準同型で、 かつ、 ならば常に となるようなものはただ一つ存在する。このとき、 係数多項式に対してを と書いて、 に を代入した値という。多項式 に対し、変数 への値の代入により関数が定まる。このような関数 を総称して（ 上で定義された）多項式関数とよぶ。特に、多項式 の次数 が であるとき、 の定める多項式関数は n 次関数と呼ばれる。係数の集合 が実数体 や複素数体 などの無限体であれば、異なる多項式は異なる関数を定める。 が一般の可換環であるときはこの限りではない。例えば、有限体 上多項式 は でないがこれの定める関数は である。無限体上、あるいは有限体上でも次数が体の位数よりも小さければ、このようなことは起きないことが知られている。多項式の微分積分は以下の式が基本的である：これは解析学的に を実数や複素数に値をとる変数と見る場合は、関数に対する微分・積分の定義から導かれる事実である。一方、代数学的にはこの式を定義として扱うことが多い（を参照）。たとえば、多項式 の微分（導多項式）は となる。多元 (multivariate) または 多変数 (multivariable) の多項式は以下のように定義される。 個の不定元 と 個の定数 および、少なくとも一つの でないものを含む 個の定数 に対し、と表される式を 変数の多項式 (-ary polynomial) と呼ぶ。たとえば に注目すると、 個の変数 に関する多項式を係数としてもつ の一変数多項式と見ることができる。すなわち、単位的可換環 上の変数 に関する多変数多項式環 は、多項式を係数にもつ多項式としてのように帰納的に定義できる。不定元の冪積 の定数倍 をこの多項式の項と呼ぶ。ただ一つの項からなる多項式を単項式と呼ぶ。多重指数の概念を導入して、 に対してと約束することにすると、多変数の多項式を簡便に表すことができる。組合せ論的に多重指数 にヤング図形 を対応させ、さらにヤング図形の間に適当な順序 を導入することにより、最初に与えた 変数の多項式は以下のように表示することができる。ただし、 は "最小の" 指数 に、 は "最大の" 指数 にそれぞれ対応するヤング図形である。当然だが、ヤング図形を介さなくても、直接指数に順序を与えておけば同じことである。すなわち に対し、 と約束するとよい。多重指数 に対し、 の大きさ をで定めておく。変数 に関する項 に対し、 をこの項の（ に関する）次数と定める。多項式 に対しては、 を多項式 の次数 (degree) または全次数（ぜんじすう、"total degree"）といい、 と表す。また、変数の集合 からいくつかの変数を選び、その全体を とする。このとき、変数 に関する多項式 を に属さない変数は係数と見なして に関する多項式とみることにより、 の変数 に関する次数が定義される。ベクトル に対し、項 の を重み（おもみ、"weight"）とする次数あるいは重み つき次数 とは、 と の標準内積のことと定義する。多項式 に対しては、全次数のときと同様に をこの多項式の重み つき次数 (degree with weight ) といい、 と表す。自然数 に対し、多項式 を -次の斉次多項式あるいは -次形式（-次­代数形式、代数 -形式、-形式）という。とくにベクトル空間上の一次形式は線型写像であり、その全体は双対空間と呼ばれる。また、ベクトル空間上の二次形式は対称行列 と内積を用いて または などと表されるなど、この二者は線型代数学の範疇に属する研究も多い。またテンソル代数を特定の形の二次形式が生成するイデアルで割って得られる商多元環はクリフォード代数と総称され、リー群論や群の表現論などで重要な役割を果たす幾何学的対象を定める。変数 に関する一変数多項式 に対し、 を代入し、なおかつ を掛けることで、二変数の斉次多項式 を得る。この を の斉次化（せいじか、Homogenize; 同次化）という。これは多項式関数を射影平面上に拡張したものとして利用される。とくに、多項式の特異点が無限遠にある場合にも、斉次化により他の有限な場所に現れる特異点と同等に扱うことができるなどの、条件の対称化を行うことができる。もっと一般の次元の 係数射影空間 の場合にも、 次元アフィン空間 の標準的な埋め込みを一つ、たとえばを経由して、多変数多項式の斉次化が得られる。つまり、多変数多項式 に対してと置いて得られる は斉次多項式である。この意味で斉次多項式は多項式の射影的構造を表していると考えることができる。多項式を一般化する筋道は少なくとも以下の二種類を考えることができる:実係数の三角多項式は がいくつかの自然数を亙るときの三角函数 に関する有限線型結合 として表される実数値函数をいう。これを「三角多項式」と呼ぶのは、多項式のと函数列 を類似のものと看做してのアナロジーである。また、複素係数の三角多項式とは、有限フーリエ級数（フーリエ多項式）のことを言う。これは を不定元と見て、その正負の冪によって張られる。三角多項式の用例は広く、例えば周期函数の補間法にが用いられる。行列多項式は行列変数の多項式である。通常はスカラー値の多項式 が与えられたとき、これを行列 で評価した値というものをのこととして定義する。ここで、定数項は単位行列 のスカラー倍に置き換わることに注意。行列多項式方程式は行列多項式の間の等式であって、考えている範囲の行列のうち特定のもののみがそれを満足するものを言う。同様に、考えている行列環 に属する任意の行列について成り立つ行列多項式の間の等式は行列多項式恒等式と呼ぶ。形式冪級数 は多項式とよく似ているが、非零項が（可算）無限個あってもよい（つまり有限次とは限らない）点が異なる。ゆえに多項式と違って、一般には全ての項を陽に書き下すことは（無理数の小数表示が全て書ききれないことと同様の意味で）できない。しかし、各項に対する扱いや演算における項の操作ルールは多項式に対するものとまったく同じくすることができる。形式冪級数ではなく収束冪級数を考えることでも多項式を一般化することができるが、積は必ずしも収束するとは限らないので、環構造の埋め込みにはならないことに注意。形式冪級数は一般に次数に関して最大の非零項を持つとは限らないが、必ず最小の非零項を持つから、多項式の次数に対応する概念として形式冪級数の位数 (order) は最小の非零項の次数として定まる。冪級数に対して、さらに有限個の負冪の項も許した一般化として形式ローラン級数が定義される。形式ローラン級数もまた最大の非零項を持つとは限らないが、必ず最小の非零項を持つ（が、略式的には両側無限和として のようにも書く）。形式冪級数の特別の場合が多項式であったことの（形式）ローラン級数において対応する概念として、（形式）ローラン多項式は不定元の負冪の項を有限個含む多項式の類似物である。すなわち、ローラン多項式は正負の次数の項を含む有限和であり、最小の非零項および最大の非零項を持つ。ピュイズー級数は冪級数に対して、分数冪を許すような一般化になっている。ピュイズー級数はアイザック・ニュートンが1676年に導入したものをビクトル・ピュイズーが再発見したためこの名がある。不定元 に関する各ピュイズー級数は、適当な自然数 に対する を不定元とするローラン級数 として表される。ここで は適当な整数であり、もちろん負であってもよい。代数閉体上のピュイズー級数体はそれ自身がまた代数閉体であり、またローラン級数体の代数閉包になる。ピュイズー級数版の多項式として、ピュイズー多項式は有限和となっているようなピュイズー級数をいう。二変数多項式の第二変数を第一変数の指数函数で置き換えた をと呼ぶ。通常の多変数多項式環は、変数と係数および変数同士の可換性が仮定されている。この変数の間の可換性を仮定からはずすことで、非可換多項式環が定義される。可換性をはずしたために、非可換多項式を一般に書き表すのは困難であるが、非可換多項式環はテンソル代数として記述することができる。を基底とする有限次元 ベクトル空間あるいは可換環 上の階数有限な自由加群 上のテンソル代数 をなどと記して 上の非可換多項式環と呼ぶ。ここで術語「自由」 は、この環が必ずしも乗法が可換でないような多元環としての普遍性を持つということを意味している。 上で有限生成な（非可換）環 は の代入による準同型像として得られる。つまり、適当な 多元環の全射準同型でなるものが必ず取れ、またしたがって は のある商多元環に同型である。この準同型の への制限は から への 線型写像であるが、逆に から への任意の 線型写像はかならずこのような形の多元環の準同型に延長可能である。これはテンソル代数の普遍性と呼ばれる性質の一部である。また、非可換多項式環 をテンソル代数とみるとき、対応する対称代数 ( の形の元全体で生成される両側イデアルで割った代数) は多項式環 であり、多項式環が有限生成可換多元環に対する普遍性を持っていることに対応している。有理式は、二つの多項式 の商（） のことを言い、有理式として書き直すことのできる任意のの定める函数を有理函数と呼ぶ。多項式函数は変数に対する任意の代入に対して値が定義されるが、有理函数は分母が零にならないような変数の値に対してしか定義されない。有理函数はローラン多項式を（分母が不定元の冪であるような）特別の場合として含む。

出典:wikipedia