数学、特に複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、）は、指数関数と三角関数の間に成り立つ以下の関係をいう。ここで は指数関数、 は虚数単位、 はそれぞれ余弦関数および正弦関数である。任意の複素数 に対して成り立つ等式であるが、特に が実数である場合が重要でありよく使われる。 が実数のとき、 は複素数 がなす複素平面上の偏角（角度 の単位はラジアン）に対応する。公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラー () に因むが、最初の発見者はロジャー・コーツ () とされる。コーツは1714年にを発見したが、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった。この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して"「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」" だと述べている。オイラーの公式は、変数 が実数である場合には、右辺は実空間上で定義される通常の三角関数で表され、虚数の指数関数の実部と虚部がそれぞれ角度 に対応する余弦関数 と正弦関数 に等しいことを表す。このとき、偏角 をパラメータとする曲線 は、複素平面上の単位円をなす。特に、 のとき（すなわち偏角が 180 度のとき）、となる。この関係はオイラーの等式 と呼ばれる。オイラーの公式は、三角関数 が双曲線関数 に対応することを導く。また応用上は、オイラーの公式を経由して三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式やフーリエ級数などの扱いを簡単にすることなどに利用される。実関数として定義される指数関数 および三角関数 , を各々マクローリン展開すればとなる。これらの級数の収束半径が であることはダランベールの収束判定法によって確認することができる。従ってこれらの級数は、 を複素変数と見て全複素平面上広義一様に絶対収束し、これらの級数によって表される関数は整関数である。これら級数の収束性と正則関数に関する一致の定理により、正則関数としての拡張は全平面でこの収束冪級数によって確定されるため、複素関数としての指数関数および、三角関数は通常、この級数展開式をもって定義される。ここで、 の を に置き換え、 の冪級数が絶対収束するために級数の項の順序を任意に交換可能である事を考慮すればが成り立つ。この式と三角関数の冪級数展開を比較すればが得られる。この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、複素数の世界では密接に結びついていることを表している。たとえば、三角関数の加法定理は、指数法則 に対応していることが分かる。オイラーの公式を利用して三角関数を指数関数に置き換えることができる。たとえば余弦関数と正弦関数については直接的に、という表現が得られる。この公式には、上記の冪級数展開による証明の他にも異なる幾通りかの証明が知られている。ここにいくつかの例を挙げる。 の微分は以下のようになる。したがって、すべての実数 について が成り立つ。これは が定数関数であることと同値である。よって より、となる。 を に代入すると次のようになる。ここで の両辺に、 の複素共役 を掛ければ、三角関数に関するピタゴラスの定理 よりオイラーの公式が得られる。したがって、すべての実数 について が成り立つ。ゆえに は定数である。よって よりが成り立つ。が導出される。この両辺に を掛け、任意の複素数 "a

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