ベクトル場（ベクトルば、vector field）とは、数学において、幾何学的な空間の広がりの中でベクトル的な量の分布を表すものである。単純化された設定のもとではベクトル場はユークリッド空間 R （またはその開集合）からベクトル空間 R への関数として与えられる。（局所的な）座標系のもとでベクトル場を表示するときは座標に対してベクトルを与えるような関数を考えることになるが、座標系を変更したときにこの関数は一定の規則に従って変換を受けることが要請される。ベクトル場の概念は物理学や工学においても積極的にもちいられ、例えば動いている流体の速さと向きや、磁力や重力などの力の強さと向きなどが空間的に分布している状況を表すために用いられている。現代数学では多様体論にもとづき、多様体上の接ベクトル束の断面として（接）ベクトル場が定義される。"M" を "n" 次元の多様体（あるいは、同値なことだが、ユークリッド空間 R の部分集合で局所的には自由度 "n" の座標が入るようなもの）とするとき、"M" 上のベクトル場 "X" は写像 "V": "M" → R で次の条件を満たすものとして定義される。したがって、ベクトル場 "V" からは座標系実ごとに "n" 変数のベクトル置換数による表示が得られることになるが、座標系が交わるところでは上に挙げた条件によって関数たちが張り合わされ、幾何学的に内在的なものがえられている。現代数学ではこの定義がさらに抽象化され多様体 "M" の上で各点に対する接ベクトルの分布を与えるものとして理解される。"M" の点 "p" における接ベクトル "v" を考えることと、"p" のまわりで定義された微分可能関数にたいして "p" において "v" の方向への微分を与える作用素 formula_1 を考えることは同じことになる。したがって "p" における微分写像のなす空間 "TM" （この概念は "o" のまわりの座標の取り方によらない）が "p" における接ベクトルの空間を与えていると見なせ、ベクトル場は接ベクトルの分布をあらわす写像 formula_2 によって与えられていると考えることができる。ベクトルについての加法や減法、定数倍などの操作を各点ごとに考えることでこれらの操作がベクトル場についても定義される。特に、連続関数fとベクトル場Xについて各点ごとの積fXを考えることができる。多様体 "M" にリーマン計量 "g" が与えられているとする。"f" が "M" 上の微分可能関数のとき、formula_3 で特徴づけられるようなベクトル場 grad "f" を考えることができるが、これは（"g" に関する）勾配 grad "f" とよばれる。R上のベクトル場X = ("x

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