数学におけるバナッハ空間（バナッハくうかん、; バナハ空間）は、完備なノルム空間、即ちノルム付けられた線型空間であって、そのノルムが定める距離構造が完備であるものを言う。解析学に現れる多くの無限次元函数空間、例えば連続函数の空間（コンパクトハウスドルフ空間上の連続写像の空間）、"L"-空間と呼ばれるルベーグ可積分函数の空間、ハーディ空間と呼ばれる正則函数の空間などはバナッハ空間を成す。これらはもっとも広く用いられる位相線型空間であり、これらの位相はノルムから規定されるものになっている。バナッハ空間の名称は、この概念をハーンとヘリーらと共に1920-1922年に導入したポーランドの数学者ステファン・バナフに因む。バナッハ空間の厳密な定義は、バナッハ空間のうち一般によく知られる二種類は、その台となる線型空間の係数体（基礎体）"K" が実数体 R または複素数体 C であるもので、それぞれ実バナッハ空間および複素バナッハ空間と呼ばれる。以下はすべて実数体 R 上のバナッハ空間の例であるが、すべての例においてそれぞれ対応する複素数体上のバナッハ空間を考えることができる。二つのバナッハ空間 "X

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