証明（しょうめい）とは、ある事柄が真理もしくは事実であることを明らかにすること。また、その内容。社会生活で、一般的に使用される用法としては、ある事柄に対する論説や理論・解答・判断・推理などの根拠・理由などを明らかにし、その事柄が真実であることなどを明らかにすることである。 立証（りっしょう）とも呼ばれることもある。証明されたものを、より確実にするための、あるいはその正当性を示す証拠や保証となるもの、およびそれを求める行為のことを裏付け（うらづけ）、裏書き（うらがき）と呼ぶ。数学においては、ある命題が正しいことを主張するための一連の文章を証明 () と呼ぶ。証明の各段階においては、認められた事実（公理、証明済みの命題）と仮定から適切な推論によって新たな命題を導くという形態をとる。ここで、ある証明の中で導入された仮定は、その証明の中で否定されるか（背理法）、証明の別の部分で証明されなければならない。P⇒Q を証明したいとき、P⇒Q を直に証明することを直接証明と言う。それに対して P⇒Q が真であることを直接証明する代わりに、P⇒Q と同値な別の命題が真であることを証明する方法を間接証明と言う（これらはあくまで直観的な分類に過ぎず、数学的な定義があるわけではない）。証明の代表的なテクニックを以下に示す。「素数は無限個存在する」という命題の証明は以下のようになされる。数学における命題の証明においては、通常、その正しさの確認は証明の作成者と読者に委ねられている。証明の概念を形式化することによって、その正しさを機械的に判定したり、証明そのものを数学の研究対象とすることもできる。Aを公理系とし、(P...,P) を命題の列とする。任意の i≦n に対し P がのいずれかを満たすとき、(P...,P) を P の（公理系 A における）証明と言う。ある (P...,P) があって、(P...,P) が P の証明であるとき、P は（公理系 A において）証明可能である、もしくは P は定理であると言う。証明を記述する際には、証明とそれ以外の部分をはっきりわけて可読性をあげるため、証明の始めと終わりを明確に示す習慣があり、特に高等学校などで初めて証明の記述を学ぶ者に対しては厳しく指導される。始めや終わりを示す記号は書く人の好みによりさまざまであるが、始めには「proof」「prf.」「pf.」「（証明）」「（証）」、丸で囲んだ「∵」などが、終わりには「Q.E.D.」「（証明終わり）」「（証明終）」「（証終）」「（終）」「□」「■」「//」などが用いられる。L を言語、P を計算機、V を多項式時間計算機とする。対話 (P,V) がを満たすとき、(P,V) は L に関する所属の対話証明あるいは単に証明と言い、P を証明者、V を検証者と言う。L がPSPACEに属する言語であれば L に関する所属の対話証明が存在し、そしてその逆も言える事が知られている。裁判官が、事実の存否につき確信を得た状態、または裁判官に確信を得させるための当事者の活動。疎明と対比される概念。

出典:wikipedia