米田の補題（よねだのほだい、）とは、小さなhom集合をもつ圏 C について、共変hom関手 hom(A, -) : C → Set から集合値関手 F : C → Set への自然変換と、集合である対象 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。名称は米田信夫に因む。局所的に小さい（locally small）圏を C とする、すなわち各対象 A, B に対して hom(A, B) は集合であるとする。対象Aを固定するとき、C の各対象 B に対して集合（Set の対象）hom(A,B) を割り当てる関数は、C から Set への関手の対象関数として考えることができる。この関手は大抵 h = hom(A, -) : C → Set と表記され、共変hom関手（covariant hom functor）と呼ばれる。ここで、 F : C → Set を任意の集合値関手とし、h から F へのすべての自然変換 θ : h formula_1 F のクラス Nat(h, F) について考える。米田の補題の骨子は、射 h(f) = hom(A, f) : hom(A, A) → hom(A, B) の恒等射 1 に対する特性である。θ は自然変換であるので、対象 A において自然である。すなわち、各対象 B への各射 f : A → B すべてに対して、自然性条件が成り立つ。両辺を 1 に作用させるると、となる。したがって、各対象Bについて、となる。これは、任意の（C の射かつ Set の対象の要素である） f ∈ hom(A, B) = h(B) に対して成り立つ。つまり θ(1) は 各コンポーネント θ : h(B) → F(B) を定め、自然変換 θ は要素 θ(1) ∈ F(A) から完全に決定されることがわかる。また明らかに、θ ∈ Nat(h, F) は、対象 A における自然変換のコンポーネント θ の恒等射 1 における値 θ(1) ∈ F(A) を定める。すなわち、全単射が存在する。この y は米田写像（Yoneda map）と呼ばれる。C を局所的に小さな圏とする。C から関手圏 Set への関手h : C → Setをグロタンディーク関手（Grothendieck functor）hと呼ぶ。ここで、共変hom関手の間の自然変換についてが、米田の補題から成り立つ。ここで、関手圏の射が自然変換であったことからとhom集合で書きなおすことができ、C のhom集合と Set のhom集合との間に全単射が存在することがわかる。すなわち、グロタンディーク関手 h は充満忠実である。

出典:wikipedia