パウリ行列（パウリぎょうれつ, Pauli matrices）、パウリのスピン行列（-ぎょうれつ, Pauli spin matrices）とは、下に挙げる3つの2×2複素行列の組みのことである。formula_1（シグマ）で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。添字は数学では 1, 2, 3 が使われるが物理学では x, y, z が使われる。また、座標系によって添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。上記3つに単位行列を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。パウリ行列はエルミート行列であり、ユニタリー行列でもある。パウリ行列 formula_4 のトレース (Tr) と行列式 (det) は次のとおり。また formula_6（2×2単位行列）では formula_7, formula_8 である。それぞれのパウリ行列は、固有値とを持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、パウリ行列の積についてはすなわち formula_12 についてが成り立つ。これは定義から直接計算すればわかる。これらをまとめてと書くことができる（ここで formula_15 はクロネッカーのデルタ、formula_16 はエディントンのイプシロン）。これにより交換関係と反交換関係はとなる。任意の2×2複素行列はパウリ行列(単位行列を含めた4つの行列)の線形結合で書ける。このとき係数は一般に複素数である。また、任意の2×2エルミート行列をパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数は実数になる。部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル(実ベクトル)はストークスベクトルと呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。

出典:wikipedia