バナッハ＝タルスキーのパラドックス (Banach-Tarski paradox) は、球を3次元空間内で、有限個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができるという定理（ただし、各断片は通常の意味で体積を定義できない）。この操作を行うために球を最低5つに分割する必要がある。バナッハ＝タルスキーの証明では、ハウスドルフのパラドックスが援用され、その後、多くの人により証明の最適化、様々な空間への拡張が行われた。結果が直観に反することから、定理であるが、パラドックスと呼ばれる。証明の1箇所で選択公理を使う。ステファン・バナフ（バナッハ）とアルフレト・タルスキが1924年に初めてこの定理を述べたときに選択公理を肯定的にとらえていたか、否定的にとらえていたか、判断することは難しい。（彼らは、「この研究に対する選択公理の果たす役割は、注目するに値する。」(Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l'attention.)としか述べていないのである。）この定理は次のように述べることも出来る。ただし、分割合同とは以下のように定義される:"A" と "B" をユークリッド空間の部分集合とする。"A" と "B" が有限個の互いに交わらない部分集合の合併としてつまり、と表すことができ、全ての "i" について、formula_2 と formula_3 が合同であるとき、"A" と "B" を分割合同という。さらに、この定理から次のより強い形の系を導くことが出来る。言い換えると、ビー玉を有限個に分割して組み替えることで月を作ったり、電話を組み替えて睡蓮を作ったり出来る（当然のごとく材質は変えられない）、ということである。この定理の証明で、点集合は選択公理を使ってつくられる選択集合で構成されており、各断片はルベーグ可測ではない。即ち、各断片は明確な境界や通常の意味での体積を持たない。物理的な分割では可測な集合しか作れないので、現実にはこのような分割は不可能である。しかしながら、それらの幾何学的な形状に対してはこのような変換が可能なのである。この定理は 3次元以上の全ての次元においても成り立つ。2次元ユークリッド平面においては成り立たないものの、2次元においても分割に関するパラドックスは存在する:円を有限個の部分に分割して組替える事で、同じ面積の正方形を作ることが出来るのである。これはタルスキーの円積問題()として知られている。2次元ユークリッド平面においては、合同変換ではなく面積を保つ変換に条件をゆるめると、バナッハ＝タルスキーのパラドックスと同様な定理が成立することを、1929年にジョン・フォン・ノイマンが証明した。この定理は次のように述べることが出来る。"A" と "B" を2次元ユークリッド空間の内点を持つ有界な部分集合とする。 "A" と "B" が有限個の互いに交わらない部分集合の合併としてと表すことが出来る。ここで、全ての "i" について、面積を保つ変換 formula_5 が存在してとする事が出来る。定理の証明を与える。ここでの方法はバナッハとタルスキーによるものと似ているが全く同一ではない。証明は本質的に4つのステップに分かれる。それぞれのステップの詳細について述べる。2つの生成元"a"と"b"から生成される自由群は4つの文字"a"、"a"、"b"、"b"からなる有限の長さを持つ文字列から構成される。ここで"a"が"a"の直後に現れるような文字列は許されない。"b"についても同様である。2つのこのような文字列があったとき、それらの積をそれらの文字列のをつなげたものと定義する。ただしそれにより「許されない文字列」が生じたときは、その部分を「空の文字列」で置き換えることで対処する。例えば"abab"a"と"abab"a"の積は"abab"a"abab"a"となるが、これは"a"a"という「許されない文字列」を含むため、この部分を「空の文字列」で置き換えて"abaab"a"となる。このような文字列の集合はここで定義した演算によって、「空の文字列」を単位元"e"に持つ群になることが確かめられる。この群を"F"と書く。群formula_7は以下のようにして「パラドキシカルな分割」が可能である: "S"("a")を"a"で始まるformula_7の文字列全体の集合とする。"S"("a")、"S"("b")、"S"("b")についても同様である。明らかに、一方およびである。"aS"("a")という表記は、"S"("a")の元の左に"a"をかけた文字列の全体である。最後の行がこの証明の核心である。例えば集合formula_14はformula_15という文字列を含む。formula_16はformula_17の直後に現れてはいけないというルールにより、この文字列はformula_18となる。このようにformula_14はformula_18で始まるすべての文字列を含む。同様にformula_21はformula_16, formula_17, formula_24で始まるすべての文字列も含む。3次元空間の回転群でちょうどformula_7と同じように振る舞う(formula_7と同型な)群を見つけるために、直交する2つの軸、"x"および"z"をとる。そして"a"で"x"軸を回転軸とした1ラジアンの回転、"b"で"z"軸を回転軸とした1ラジアンの回転を表すとする(回転の角度は1ラジアンでなくても、円周率πの無理数倍であれば何でもよい)。2つの回転"a"、"b"が操作の合成を積としてformula_7と同型になることの証明はやや煩雑だが難しくはないので、この部分は省略する。"a"と"b"によって生成される回転群をHとする。すると、ステップ１で得たパラドキシカルな分割をHに対しても適用することが出来る。単位球面"S"は群Hの作用を考えることにより軌道の集合に分けることが出来る。すなわち、"S"の2つの点は、一方の点を他方に移すような回転がHに存在するとき、またそのときに限り同じ軌道に属すると定めるのである(ある点の軌道が"S"の稠密集合になることに注意)。選択公理を用いて、すべての軌道からちょうど1個の点を選んで新たな集合を作ることが出来る。この集合を"M"とする。今"S"のすべての点は、ある"M"の点に、あるHの元を作用させることによって得ることが出来る。したがって、Hのパラドキシカルな分割は以下のように"S"の4つの部分集合"A

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