公理的集合論（こうりてきしゅうごうろん、"axiomatic set theory"）とは、公理化された集合論のことである。現在一般的に使われている集合の公理系は以下の ZFC である。ツェルメロ＝フレンケルの公理系 (ZF: Zermelo-Fraenkel) とは以下の公理からなる。置換公理はフレンケルによって次の分出公理の代わりにおかれたものである（1922年）。分出公理は上に述べた ZF の公理から示すことができる。上記の ZF に次に述べる選択公理（Axiom of Choice）を加えた公理系を ZFC（Zermelo-Fraenkelset-theory with the axiom of Choice: C は "choice" の頭文字）という。選択公理を仮定しない体系も盛んに研究されている。ツェルメロが ZF の元となる公理系を1908年に発表した最大の動機は、実数が整列可能だとする彼の証明を弁護することであった。しかし、同時に彼はその当時すでに知られていたパラドックスを回避しなければいけないこともわかっていた。代表的なものとしては、ラッセルのパラドックス、リシャールのパラドックス、ブラリ＝フォルティのパラドックスがある。これらのパラドックスは、集合を構成する方法に制限を付けている ZFC の中では展開できない。例えば、ラッセルのパラドックスで用いられるという集まりは ZFC の中では構成できないし、リシャールのパラドックスで用いられる構成は論理式で記述できない。

出典:wikipedia