ルジャンドル変換（ルジャンドルへんかん、）とは、凸解析において、関数の変数を変えるために用いられる変換である。名前はフランスの数学者、アドリアン＝マリ・ルジャンドルに因む。ルジャンドル変換は点と線の双対性、つまり下に凸な関数 は の点の集合によって表現できるが、それらの傾きと切片の値で指定される接線の集合によっても等しく充分に表現できることに基いている。ルジャンドルは解析力学におけるラグランジアンをハミルトニアンに変換する際にルジャンドル変換を用いた。他にも、熱力学における熱力学関数間の変換など、物理学において広く応用されている。ルジャンドル変換の一般化としてルジャンドル＝フェンシェル変換がある（ルジャンドル＝フェンシェル変換については凸共役性を参照）。関数 のルジャンドル変換は次のように定義される：または次のように定義してもよい：ここで、 は変数 を動かしたときの最大値を表し、文献によっては最大値 と最小値 を用いる代わりに、上界 と下界 が用いられる。変換される関数 は 以外の変数を持っていてよく、多変数関数に対しては各変数についてルジャンドル変換をすることができる。ルジャンドル変換の定義から明らかなように、関数 の最小値が定まる場合のみ、ルジャンドル変換によって新しい関数を与えることができる。最小値が定まる場合でも、変換元となる関数 が凸関数でない場合、新たに定義された関数 は逆変換しても元の関数 へは戻らない。元の関数 の一階の導関数 が について連続であり単調増加する場合、すなわち関数 が下に凸で滑らかな場合、関数 が最小となる は、 の の一階の導関数 が 0 になる点であるから、ルジャンドル変換は次のように書き直せる。ここで関数 は の導関数 の逆関数である。これは方程式 の解である。関数 のルジャンドル変換 に対して再びルジャンドル変換を施す。つまりルジャンドル変換の逆変換はルジャンドル変換そのものとなる。例として、関数が滑らかな凸関数である場合について説明する。まず関数 を 2 回ルジャンドル変換をすると以下のようになる。このことから、 は元の関数 に等しいことが示される。ルジャンドル変換の定義より、任意の関数 とその共役 は以下の不等式を満たす。解析力学では、ラグランジアン をハミルトニアン に変換する際に、ルジャンドル変換が用いられる。座標を としたときに正準運動量を として、ハミルトニアンはと定義される。これによって、 から になる。実際これは以下の関係を満たす。このハミルトニアンとオイラー＝ラグランジュ方程式あるいは最小作用の原理を組み合わせることで正準方程式が導かれる。ハミルトニアンの全微分は、と書けるが、一方でハミルトニアンの定義より、となるので、ハミルトニアンの偏微分は以下の関係を満たす。この内、正準変数 の偏微分に関する式をまとめて正準方程式 () と呼ぶ。逆にハミルトニアンからラグランジアンを得る場合には、関数 を以下のように定義し、変数 に対する偏微分が 0 になるようにする。すなわち、結局このとき変数 はハミルトニアンの運動量微分に等しくなる。多変数の場合には、ラグランジアンのすべての一般化速度についてルジャンドル変換を施したものがハミルトニアンと呼ばれる。また部分的にルジャンドル変換をしたものは () と呼ばれる。熱力学では、内部エネルギー をエンタルピー 、ヘルムホルツの自由エネルギー に、またそれらからギブスの自由エネルギー に変換する際にルジャンドル変換が用いられる。ここで、：体積、：圧力、：粒子数、：エントロピー、：温度である。

出典:wikipedia