選択公理（せんたくこうり、、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた。空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる。或いは同じことであるが, 空でない集合の空でない任意の族formula_1に対して写像formula_2であって任意のformula_3に対しformula_4なるものが存在する, と写像を用いて言い換えることが出来る(ここで存在が要求される写像formula_5を選択関数という)。これは次の命題と同値である：以下の命題は全て選択公理と同値である。つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を証明することができるし、逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。選択公理、もしくはそれと同値な命題を適用することで、以下を示すことができる。集合論の創始者ゲオルク・カントールは、選択公理を自明なものとみなしていた。実際、有限個の集合からなる集合族であれば、そのそれぞれの集合の中から順に1つずつ元を選び出し、それらを併せて集合とすればよいのであるから、このような操作ができることは自明である。しかし、ツェルメロによる整列可能定理の証明に反論する過程で、エミーユ・ボレル、ルネ＝ルイ・ベール、アンリ・ルベーグ、バートランド・ラッセルなどが選択公理の存在に気付き、新たな公理であることが認識されるようになった。確かに、無限個の集合からなる集合族の場合、上のような操作を想定しても「順に選び出す」操作は有限回で終了することはないのだから、このような操作を行えるかどうかは必ずしも明らかではない。選択公理は、それ自身もまたその否定もほかの公理からは証明できないものであること、すなわち独立であることが示された（クルト・ゲーデル、ポール・コーエン）が、これは公理的集合論における大きな成果であろう。但し、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）に一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できる。従って、一般連続体仮説と選択公理は何れもZFとは独立だが、前者の方がより強い主張であると言える。ZFに選択公理を加えた公理系をZFCと呼ぶ。選択公理は「どれかひとつを選んで取り出すことができる」という一見当たり前で直感的な命題に見える。しかし、無限集合においてそのような選択を行えるかどうかは自明ではないという主張もある。実際、選択公理は、一見、奇怪で非直観的な結果を導く。バナッハ＝タルスキーのパラドックスはそのような結果の中でも有名なもので、「有限個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができる」と、初歩的な概念のみで表現することができる。なお、ステファン・バナフ（バナッハ）とタルスキは論文の冒頭で、「証明のなかに、この公理（選択公理）が果たす役割は、注目するに値する」と述べているだけであり、バナッハ＝タルスキーのパラドックスによって選択公理が正しくないと明確に主張したわけではない。選択公理とは矛盾するが、ZFCから選択公理を除いたZFとは矛盾しないような命題は数多く発見されている。たとえばは強制法を用いて実数の集合が全てルベーグ可測であるようなZFのモデルを構成した。1964年にが導入した決定性公理もその一つである。これはその後、整合性証明のために頻繁に用いられている。ZFに決定性公理を付け加えた公理系の整合性と、ZFに選択公理と巨大基数の一種であるの存在を公理として付け加えた公理系の整合性が同値となるというウッディンの定理は、互いに矛盾する公理を関係づける非常に重要なものである。選択公理には様々な変種が存在する。選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（）というものも考えられている。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。集合族の要素を特定の有限集合に制限した公理も研究されている。即ち、　　　　AC : n元集合からなる任意の集合族は選択関数を持つ。という形の公理である。この種の公理について以下のようなことが知られている（すべてZF公理系を仮定）。AC formula_7 ACを示すには、4元集合からなる集合族 formula_12 に選択関数が存在することを示せば良い。まず formula_13 に AC を適用して、選択関数 formula_14 を得る。次に formula_14 を使って formula_12 の各元 formula_17 から元をひとつ取り出す。集合 formula_18 を formula_19 とおくと、formula_18 は6元集合となる。formula_17 の元 formula_22 に対し、formula_23 という関数を定め、formula_24 の最小値を formula_25 とおく。集合 formula_26 を formula_27 とおくと、formula_18 は6元集合なので formula_26 の濃度は formula_30 のいずれかである。formula_31 である場合は、formula_26 の元を選択関数 formula_33 の値とすればよい。formula_34 の場合は、formula_35 とする。最後に formula_36 である場合は、formula_37 の元を formula_33 の値とすればよい。

出典:wikipedia