コンパクト（）は数学における位相空間の性質である。詳細は後述するがコンパクト性の定義それ自身は直観性に乏しいものであり、証明を容易にする為のいわば操作的なものである。しかし距離空間であればより直観的な言葉でいいかえる事ができ、特に有限次元のユークリッド空間においては有界閉集合と同値になる。したがってコンパクトの概念はユークリッド空間における有界閉集合の概念を一般の位相空間に拡張したものとしてとらえる事ができる。なお無限次元では有界閉集合はコンパクトとは限らず、例えばヒルベルト空間内の（縁を含んだ）単位球体は有界かつ閉集合であるがコンパクトではない（距離位相を入れた場合）。ブルバキでは、ここでいう定義を満たす位相空間を準コンパクト（）と呼び、さらにハウスドルフの分離公理を満たすものをコンパクトであると呼んでいる。距離空間など多くの空間ではハウスドルフの分離公理が満たされるので両者の概念は一致するが、一般には注意が必要である。コンパクト性の概念は以下のようにあまり直観的ではない形で定義される。まず集合 "X" に対し "X" の部分集合の族 formula_1 がを満たすとき、formula_1 は "X" を被覆しているといい、特に formula_4 が全て開集合であれば、formula_1 を "X" の開被覆という。位相空間 "X" がコンパクトであるとは次の性質を満たす事を言う："X" が距離空間であれば、コンパクト性をより直観的な性質で特徴づける事ができる。ここで位相空間 "X" が点列コンパクトであるとは、"X" 上の任意の点列は収束部分列を持つ事を指す。すなわち "X" 上の任意の点列 formula_10 に対し適当な部分列 formula_11 を取れば formula_11 は "X" 上のいずれかの点に収束する事を指す。また距離空間Xが全有界（ぜんゆうかい）であるとは任意の "ε" > 0 に対し、"X" を半径 "ε" の有限個の開球で被覆する事ができる事を指す。すなわち任意の "ε" > 0 に対し適当な有限個の点 formula_13 を取ればとなる事を指す。（ここで "d"(・,・)は "X" 上の距離を表す。）また距離空間 "X" が完備であるとは "X" 上のコーシー列は必ず収束する事を指す。詳細は完備距離空間の項目を参照されたい。全有界性は以下のようにも特徴づけられる事が知られている："X" が完備距離空間であればコーシー列は収束するので、定理1の「条件3⇒条件2」は定理2から従う。定理1より特に以下が従う：より正確に言うと有限次元のユークリッド空間やリーマン多様体では有界性と全有界性が同値であり、完備性と閉集合である事が同値である。これらの事実は簡単に証明できる。コンパクトの概念と点列コンパクトの概念は有限次元ユークリッド空間における定理であるハイネ・ボレルの被覆定理とボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理からきており、実際これらの定理はそれぞれ有限次元ユークリッド空間の有界閉集合がコンパクト、点列コンパクトであると主張している。したがってコンパクト性の概念や点列コンパクト性の概念は、こうした既知の定理の結論部分を位相空間や距離空間の言葉で抽象的に定式化する事で得られたものであるという事もできる。なお定理3より有限次元ユークリッド空間においては有界閉集合である事と全有界かつ完備である事は同値なので、ハイネ・ボレルの被覆定理とボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理はそれぞれ定理1における「3番目の条件⇒1番目の条件」、「3番目の条件⇒2番目の条件」の部分に対応している。定理1により、距離空間ではコンパクト性の概念は「全有界かつ完備」というより直観的な概念で言い換える事ができるが、コンパクト性の定義それ自身も、定理を証明する上で非常に強力な道具となる。コンパクト性を使った典型的な証明では、各点xの近傍 formula_15 を集めた formula_16 を "X" の開被覆として用い（これが実際に "X" を被覆しているのは明らか）、次のような道筋をたどる。すなわち局所的に性質Pが成り立っている事を利用してPが大域的にも成り立つ事を示す際にコンパクト性は使える。以上の証明においてコンパクト性は被覆している近傍の数を有限個に減らす事で無限に伴う複雑な問題を回避するのに役立つ。以上の事を見る為にコンパクト性を使って証明する定理の例を1つあげる。なお定理2、4より特に「ユークリッド空間の有界閉集合から実数体への連続写像は一様連続である」というよく知られた事実が従う。また定理4は "X

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