ルジャンドル多項式（ルジャンドルたこうしき、）とは、非負整数次数のルジャンドル関数として定義される。直交多項式の一種である。数学においてルジャンドルの微分方程式(λは任意の複素数とする)は標準的な冪級数法を用いて解くことができ、その解は一般にルジャンドル関数と呼ばれる（何れもアドリアン＝マリ・ルジャンドルに名を因む）。この方程式は "x" = ±1 にを持つから、一般に原点の周りでの級数解の収束半径は 1 である。λが非負整数"n" = 0, 1, 2, … のときの解は "x" = ±1 の両点においても正則であり、かつ級数は途中で止まって多項式となる。これに "x" = 1 において値 1 を取るという条件を付けると解は一意的に定まる。これを "n"次のルジャンドル多項式と呼び、普通は "P"("x") と記す。また、全ての非負整数についての"n"次のルジャンドル多項式全体が成す関数族を総称的にルジャンドル多項式と呼ぶ。ルジャンドル多項式は後述する関数空間の内積に関して直交系を成す。ただし、この内積についての各 "P"("x") の大きさは 1 ではないため (これは "P"(1) = 1 という条件を課したためである)、正規直交系にはなっていない点は注意を要する。各ルジャンドル多項式 "P"("x") は "n"-次多項式で、ロドリゲスの公式で表すことができる。ルジャンドル多項式がルジャンドルの微分方程式を満たすことは、恒等式の両辺を "n" + 1 回微分して、高階微分に関する一般ライプニッツ則を適用すればわかる。各ルジャンドル多項式 "P" は以下のテイラー級数の係数として定義することもできる。この母函数は物理学においてに利用される。上記ので与えられたテイラー展開の最初の 2 項から、最初の 2 つのルジャンドル多項式がとなることがわかる。残りの多項式を得るのには、上記のテイラー展開を直截に計算するよりも、ボネの漸化式を用いるのが適当である。この漸化式は、の両辺を "t" に関して微分したものを整理して得られる等式の分母に現れる平方根をで置き換えて、"t" の冪に対するを行えば得られる。漸化式に初期条件としてすでに得られている "P

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