数学において、有理化（ゆうりか）とは、根号を含む式、とくに平方根を含む分数式の分母または分子、から根号を取り除く式変形のことである。根号を持つ無理数（代数的無理数）を有理数に変える操作であることからこの名がある。有理化をすることで計算がしやすくなったりする。例えばなどがあげられる。抽象代数学的にはこの例は、Q を有理数体、"d" ∈ Q が有理数の平方ではないとしたときという Q の二次拡大体を考えると、が成り立つ、という主張に一般化できる。これは "K" = Q(√"d") の各元 "a" + "b"√"d" に対し、その拡大 "K"/Q に関する共役元 "a" - "b"√"d" を掛ければ（この "N"("a" + "b"√"d") は "a" + "b"√"d" の（拡大 "K"/Q に関する）ノルムと呼ばれる。）が Q に属すということから"まさに有理化によって" 証明されるわけである。一般に、体 "K" の（有限次ガロア）拡大体 "L" の元に対し、その元の拡大 "L"/"K" に関する共役元（二次拡大ではただ一つだが、一般には複数ある）をすべて掛け合わせたものを、その元のノルムとよぶが、ノルムは下の体 "K" に属する。したがって同様のこと、つまり有理化は共役元が全て計算できるならば、二次拡大に限らず行える。Q 以外の体の拡大についても同様のことができる。たとえば、Q を実数体 R にとりかえ、"d" = -1 としてみよう。（ここで、√-1 は虚数単位のことである。）であって、各元（つまり複素数）α = "a" + "b"√-1 の C/R に関する共役元とは共役複素数 "a" - "b"√-1 のことであるということに注意して、そのノルムを計算するとは R に属する。したがってたとえば、などの変形が可能である。このような変形を（分母の）実数化ということがある。

出典:wikipedia