数学において，ある集合 の元が（同値関係として定式化される）同値の概念を持つとき，集合 を同値類（どうちるい，）たちに自然に分割できる．これらの同値類は，元 と が同じ同値類に属するのは と が同値であるとき，かつそのときに限るものとして構成される．フォーマルには，集合 と 上の同値関係 が与えられたとき，元 の における同値類は， に同値な元全体の集合である．「同値関係」の定義から同値類は の分割をなす．この分割，同値類たちの集合，を の による商集合 (quotient set) あるいは商空間 (quotient space) と呼び， と表記する．集合 が（群演算や位相のような）構造を持ち，同値関係 がこの構造と適切に両立するように定義されているとき，商集合はしばしばもとの集合から類似の構造を引き継ぐ．例としては，線型代数学における商空間，位相空間論における商空間，，等質空間，商環，，など．同値関係は二項関係 であって以下の3つの性質を満たすものである：元 の同値類は と書き， と によって関係づけられる元全体の集合として定義される．同値関係 を明示して とも書かれる．これは の -同値類といわれる．同値関係 に関する のすべての同値類からなる集合を と書き， の による商集合 (quotient set of by , modulo ) と呼ぶ． から への各元をその同値類に写す全射 formula_3 は標準的射影 (canonical surjection, canonical projection map) と呼ばれる．各同値類の元を（しばしば暗黙に）選ぶと，と呼ばれる単射が定義される．この切断を で表せば，各同値類 に対して である．元 は の代表元 (representative) と呼ばれる．切断を適切に取って類の任意の元をその類の代表元として選ぶことができる．ある切断が他の切断よりも「自然」であることがある．この場合，代表元を"な代表元"と呼ぶ．例えば，合同算術において，整数上の同値関係で， を が"法"と呼ばれる与えられた整数 の倍数であると定義したものを考える．各類は 未満の非負整数を唯一つ含み，これらの整数が標準的な代表元である．類とその代表元は多かれ少なかれ同一視され，例えば という表記は類を表すことも標準的な代表元（ を で割った余り）を表すこともある． の任意の元 は同値類 の元である．任意の2つの同値類 と は，等しいか互いに素かのいずれかである．したがって， のすべての同値類からなる集合は の分割をなす，つまり， の任意の元はちょうど1つの同値類に属する．逆に の任意の分割は同値関係からこのようにして生じる． を と が分割の同じ集合に属するとした同値関係である．同値関係の性質から次が従う：言い換えると， が集合 上の同値関係であり， と が の2つの元であれば，以下の主張は同値である：任意の二項関係は有向グラフによって，同値関係のような対称的なものは無向グラフによって表すことができる． が集合 上の同値関係であるとき，グラフの頂点全体を の元全体とし， のとき，かつそのときに限り頂点 と を結ぶ．同値類はこのグラフにおいてグラフのをなす極大クリークによって表される． が 上の同値関係で が， であるときにはいつでも， が真ならば が真であるような， の元の性質であるとき，性質 は の不変量，あるいは関係 のもとで well-defined であるといわれる．よくある場合は が から別の集合 への関数であるときに生じる； であるときにはいつでも であるとき， は に対する"射"， "の下での類不変量"，あるいは単に "の下の不変量"といわれる．これは例えば有限群の指標理論において現れる．著者によっては「 の下で不変」の代わりに「 と両立する」あるいはただ「 に従う」を用いる．任意の関数 はそれ自身， なる 上の同値関係を定義する． の同値類は に写される の元全体の集合である，つまり，類 は の逆像である．この同値関係は のとして知られている．より一般に，関数は（ 上の同値関係 の下で）同値な引数を（ 上の同値関係 の下で）同値な値に送ることがある．そのような関数は から への射と呼ばれる．In topology, a quotient space is a topological space formed on the set of equivalence classes of an equivalence relation on a topological space using the original space's topology to create the topology on the set of equivalence classes.In abstract algebra, congruence relations on the underlying set of an algebra allow the algebra to induce an algebra on the equivalence classes of the relation, called a quotient algebra. In linear algebra, a quotient space is a vector space formed by taking a quotient group where the quotient homomorphism is a linear map. By extension, in abstract algebra, the term quotient space may be used for quotient modules, quotient rings, quotient groups, or any quotient algebra. However, the use of the term for the more general cases can as often be by analogy with the orbits of a group action.The orbits of a group action on a set may be called the quotient space of the action on the set, particularly when the orbits of the group action are the right cosets of a subgroup of a group, which arise from the action of the subgroup on the group by left translations, or respectively the left cosets as orbits under right translation.A normal subgroup of a topological group, acting on the group by translation action, is a quotient space in the senses of topology, abstract algebra, and group actions simultaneously.Although the term can be used for any equivalence relation's set of equivalence classes, possibly with further structure, the intent of using the term is generally to compare that type of equivalence relation on a set "X" either to an equivalence relation that induces some structure on the set of equivalence classes from a structure of the same kind on "X

出典:wikipedia