冪演算（べきえんざん、英: 独: 仏: "Exponentiation"）は、底 (base) および冪指数 (exponent) と呼ばれる二つの数に対して定まる数学的算法である。通常は、冪指数を底の右肩につく上付き文字によって示す。自然数 を冪指数とする冪演算は累乗（るいじょう、) に一致する。具体的に、 および冪指数 を持つ冪 (power) は、 が自然数（正整数）のとき、底の累乗で与えられる。このとき は の -乗とか、-次の -冪などと呼ばれる。よく用いられる冪指数に対しては、固有の名前が与えられているものがある。例えば冪指数 に対して二次の冪（二乗） は の平方 (square of ) あるいは -自乗 (-squared) と呼ばれ、冪指数 に対する三次の冪 は の立方 (cube of , -cubed) と呼ばれる。また冪指数 に対して冪 は であり の逆数（あるいは乗法逆元）と呼ばれる。一般に負の整数 に対して底 が零でないとき、冪 はふつう なる性質を保つように と定義される。冪演算は任意の実数あるいは複素数を冪指数とするように定義を拡張することができる。整数冪に限れば、行列などを含めた非常に多種多様な代数的構造に対しても冪を定義することができる。用語「冪」(power) はギリシアの数学者エウクレイデスが直線の平方を表すのに用いた語に起源がある。アルキメデスは の冪を扱うために必要となる指数法則 を発見し証明した。9世紀、ペルシアの数学者アル゠フワーリズミは平方を , 立方を で表した。これを後に中世イスラムの数学者がそれぞれ で表す記法として用いていることが、15世紀ごろのの仕事に見ることができる。16世紀後半、ヨスト・ビュルギは冪指数をローマ数字を用いて表した。17世紀初頭、今日用いられる現代的な冪記法の最初の形はルネ・デカルトが著書 "La Géométrie" の一巻において導入した。15世紀には冪記法の一種を用い、それは後の16世紀におよびが用いている。語 "exponent"（冪数）は1544年にミハエル・スティーフェルが造語したもので、は1696年に語 "indices"（指数）を導入している。16世紀には square（二次）, cube（三次）, zenzizenzic（）, sursolid（五次）, zenzicube（六次）, second sursolid（七次）, zenzizenzizenzic（）の語を用いた。四乗については "Biquadrate"（複二次）の語も用いられた。アイザック・ニュートンなど一部の数学者は冪指数は二乗よりも大きな冪に対してのみ用い、平方は反復積として書き表した。これは例えば のように多項式を書くということである。歴史的にはもう一つ "involution" が同義語として用いられていたが現在では稀であり、現在別の意味で用いられているので混同すべきではない。元来は、単に「冪（べき）」と表現した。「冪乗（べきじょう）」という語は、誤用が定着したものである。「冪」の文字はもともと「覆う、覆うもの」という意味の漢字であり、江戸時代の和算家は略字として「巾」を用いていた。ところがどちらも常用漢字・当用漢字に含まれなかったことから1950年代以降、出版物などでは仮名書きまたは「累乗」への書き換えが進められ、結果として初等数学の教科書ではもっぱら「累乗」が用いられた。この際、"n" 乗を取る操作の伝統的名称である「"n" 乗冪」 と「累乗」が混同され、「冪乗（べきじょう）」という語を生じた。一方で、「冪剰余」「冪集合」などの高等学校以下で扱われない概念に対しては、「冪」の部分が「べき乗」に置き換えられることはなく、例えば「べき乗集合」などといった表現は生じていない。実数（または積 formula_2 の定義された群、より一般には半群）において、元 "x" 、および、自然数 "n" に対して"x" をで定義する。（厳密には再帰的に定義する。）上付きの "n" が書けない場合などには、 "x"^"n" という表記を用いることが多い。これを "x" の "n"-乗あるいは "x" の "n" -乗冪と呼び、"n" を問題にしないときは "x" の累乗や "x" の冪と言う。また、これら操作を「"x" の "n" 乗 (etc.) を取る」などと称し、特に "n" を固定して "x" を入力とする関数と見るときは、冪関数という。"x" の 2乗、3乗は特に、それぞれ x の平方 (へいほう、 )、立方 (りっぽう、 ) と呼ばれ、2乗を特に自乗という場合もある。冪 "x" において、"x" を底（てい、、 基数）と呼び、"n" を冪数、冪指数または単に指数（しすう、 ) と呼ぶ。また、必ずしも冪指数とは限らない添字 "n" をその基準となる文字 "x" の右肩に乗せる添字記法を指数表記・冪記法などとよぶ場合もある。厳密には、"x" の "n"-乗冪はによって再帰的に定義される。帰納的定義を見れば以下のように拡張するのが自然である。有理数の範囲で2の累乗数を例に取ると：ただし、底が0の場合は「0で割れない」などの理由から定義しないか、あるいは 0 については 1 と定義するのが一般的である。自然数 "m" に対し、"x" の "m" 乗根すなわち "m" 乗して "x" になるような数 "y" がただ一つあるならば、その "y" を "x" とし、自然数または整数 "n" に対しと定めることによって、"x" を底とする冪乗の指数を有理数の範囲まで拡張することができる。このとき、指数法則と呼ばれる以下の関係式が成り立つ。ここで、"r" と "s" は、冪が定義できる範囲の有理数である。つまり、"x" が逆元をもたないなら自然数、逆元はもつが冪根をもたないなら整数、"m" 乗根をもつが逆元をもたないならば "m" を分母とする正の有理数、逆元も "m" 乗根ももつならば "m" を分母とする有理数である。"x" が正の実数であれば、上で制限されていた指数への条件は外れる。なぜなら、正数であれば任意の自然数 "m" に対する正の "m" 乗根 √ がただ一つだけ存在するから、正の有理数 "n"/"m" に対しと定めることができるし、さらに "x" が 0 でなければ逆元が存在するので、指数は有理数全体まで拡張される。さて、"x" (>0) の冪はその指数に関して極限を取ることにより、実数上の関数に拡張され連続関数になる。連続な拡張は一意であり、これを "x" を底とする指数関数と呼ぶ。複素数 "z" に対し、と定める。この級数は任意の複素数 "z" に対して収束する。"z" = "x" + "iy" （"x

出典:wikipedia