数学における関数（かんすう、、、、、函数とも）とは、かつては、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事であった。この言葉はライプニッツによって導入された。その後定義が一般化されて行き、現代的には数の集合に値をとる写像の一種であると理解される。日本語としての関数はもともと「函数」（旧字体では函數）と書く。函数という語は中国語から輸入されたものであり、中国での初出は1859年に出版された李善蘭の『代微積拾級』といわれる。微積分について日本語で書かれた最初の本、花井静校・福田半編『筆算微積入門』(1880年) では「函数」が用いられている。それに続く長澤龜之助訳『微分学』(1881年)、岡本則録訳『査氏微分積分学』(1883年) のいずれも用語を『代微積拾級』、『微積遡源』(1874年) などによっている。明治初期に東京數學會社で数学用語の日本語訳を検討する譯語會が毎月開催され、その結果が『東京數學會社雑誌』で逐次報告されている。この報告に function の訳語は第62号 (1884年) の「原數」と第64号 (1884年) の「三角法函數」の二種類が登場する。一方、同誌の本文では61号 (1884年) や63号 (1884年) で「函數」が用いられている。「函」が漢字制限による当用漢字に含まれなかったことから、1950年代以降同音の「関」へと書き換えがすすめられた。この他、「干数」案もあった。学習指導要領に「関数」が登場するのは中学校で1958年、高等学校で1960年であり、それまでは「函数」が用いられている。「関数」表記は 1985 年頃までには日本の初等教育の段階でほぼ定着した。「函数」の中国語における発音は() であり、志賀浩二や小松勇作によればこれはfunctionの音訳であるという。一方、『代微積拾級』には「凡此變數中函彼變數則此為彼之函數」とあり、また変数に天、地などの文字を用いて「天 = 函(地)」という表記もある。片野善一郎によれば、「函」の字義はつつむ、つつみこむであるから、「天 = 函(地)」という表現は「天は地を函む」ようにみえ、従属変数（の表現）に独立変数が容れられているという意味であるという。なお、現代の初等教育の場においてはしばしば関数をブラックボックスのたとえで説明することがある。この説明では、「函」を「はこ」と読むことと関連付けて説明されることもあるが、「函数」の語の初出は1859年なのに対し、「ブラックボックス」の語の初出は1945年ごろとされることに注意を要する。二つの変数 "x" と "y" があり、入力 "x" に対して、出力 "y" の値を決定する規則（"x" に特定の値を代入するごとに "y" の値が確定する）が与えられているとき、変数 "y" を「"x" を独立変数 (independent variable) とする関数」或いは簡単に「"x" の関数」という。対応規則を明示するときは、適当な文字列（特に何か理由がなければ、function の頭文字から "f" が選ばれることが多い）を使ってのように対応規則に名前を付与する。"x" の関数 "y" を "f"("x") と書いて、"x" = "a" を代入したときに決まる関数の値を "f"("a") と表すのである。しかしここで、定数関数の例に示されるように、個々の "y" の値について対応する "x" の値が一つに決まるとは限らない事に注意しなければならない。この "f"("x") という表記法は18世紀の数学者オイラーによるものである。オイラー自身は、変数や定数を組み合わせてできた数式の事を関数と定義していたが、コーシーは上に述べたように、 "y" と言う変数を関数と定義した。"y" が "x" の関数であることの別の表現として、変数 "y" は変数 "x" に従属するとも言い、"y" を従属変数 (dependent variable) と言い表す。独立変数がとりうる値の全体（変域）を、この関数の定義域 (domain) といい、独立変数が定義域のあらゆる値をとるときに、従属変数がとりうる値（変域）を、この関数の値域 (range) という。関数の終域は実数 R や複素数 C の部分集合であることが多い。終域が実数の集合となる関数を実数値関数 (real valued function) といい、終域が複素数の集合となる関数を複素数値関数 (complex valued function) という。それぞれ定義域がどのような集合であるかは問わないが、定義域も終域も実数の集合であるような関数を実関数 (real function) といい、定義域も終域も複素数の集合であるような関数を複素関数 (complex function) という。ディリクレは、 "x" と "f"("x") の対応関係に対して一定の法則性を持たせる必要は無いとした。つまり、個々の独立変数と従属変数の対応そのものが関数であり、その対応は数式などで表す必要はないという、オイラーとは異なる立場をとっている。集合論的立場に立つ現代数学では、ディリクレのように関数を対応規則 "f" のことであると解釈する。それは二項関係の特別の場合として関数を定義するということであり、よって、写像に用いる言葉をそのまま流用する事がある：などを挙げることができるだろう。一方で、「数」に値を取る関数は一般の写像とは異なる性質も持つ。たとえば、像を用いて演算と呼ばれる函数同士の演算が定義できること： "x" を任意として、などが挙げられる。とくに教育において関数はブラックボックスで説明されることがあると前に述べたが関数は入力と出力が定義されたブラックボックスとして説明される。例えば120円のジュースを自動販売機で購入することを考えよう。ここで投入する金額が入力、ジュースとお釣りが出力である。更に同一の金額でも様々な組合せがある。120円といっても10円玉12枚、50円玉1枚と10円玉7枚など組み合わせがあるが、自動販売機内部では硬貨が違っても金額が同じなら全て同一と見なされる、つまり入力が変化しても出力が一定であるがこれも関数である。これは数学的には定数関数と認識される。以下に代表的な関数とその具体例の一覧表を掲げる。全てのものを網羅しているわけではないことに注意されたい。複数の変数によって値が決定される関数を多変数関数と言う。これは複数の数の集合たちの直積集合から数の集合への写像であると解釈される。ベクトルの集合を定義域とする独立変数をもつ関数と解釈することもある。"n" 個の変数で決まる関数であれば、"n" 変数関数とも呼ばれのように書かれる。例えばは二変数関数である。一つの入力に複数の出力を返すような対応規則を関数の仲間として捉えるとき多価関数 (multi-valued function) と言う。常に "n" 個の出力を得る関数は "n" 価であるといい、その "n" を多価関数の価数と呼ぶ。例えば正の実数にその平方根を与える操作は正と負の二つ値を持つので、二価関数である。多価関数に対し、普通の一つの値しか返さない関数は一価関数といわれる。多変数関数は独立変数がベクトルに値をとるものと解釈できるということを上に述べたが、逆に従属変数がベクトルの値を持つような写像も考えられ、それをベクトル値関数という。ベクトル値関数が与えられたとき、像のベクトルに対してその各成分をとり出す写像を合成してやることにより、通常の一価関数が複数得られる。つまり、定義域を共有するいくつかの関数を一つのベクトルとしてまとめて扱ったものがベクトル値関数であるということができる。一つの例として、実数全体 R で定義された二価の関数はベクトル値関数として扱うことができる。また、定義域の "コピー" を作って定義域を広げてやることで、その拡張された定義域上の一価の関数と見なすこともある。複素変数の対数関数 log は素朴には無限多価関数であるが、これを log のリーマン面上の一価関数と見なすなど、定義域を広げて一価にする手法は解析的な関数に対してしばしば用いられる。多変数方程式がいくつかの関数関係を定義することもある。例えばのような式が与えられているとき、"x" と "y" は独立に別々の値をとることはできない。"x" に勝手な値を与えるならば、"y" は "x" の値のよってとりうる値の制約を受けるからである。このことを以って、独立変数 "x" と従属変数 "y" が対応付けられると考えるとき、方程式 "F"("x

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