数学、殊に複素解析学における留数（りゅうすう、）は、複素解析函数の孤立特異点の周りでの挙動について記述する複素数である。解析函数 "f"("z") とその孤立特異点 "z" = "a" に対し、微分形式 "f"("z")"dz" の "z" = "a" における留数とは、積分によって定められる（"z" = "a" が正則点の場合にもこの積分および留数を考えることができるが、コーシーの積分定理により、その場合留数の値は消える）。ただし、"i" は虚数単位、積分路 γ は点 "z" = "a" を中心とする十分小さな円を正の向きに回るものとする（実際には、積分路は、それがガウス平面から切り取る有界領域が "z" = "a" 以外に "f"("z") の特異点を含まなければ、どんな単純閉曲線でも良い）。無限遠点 ∞ を含めて P := C ∪ {∞} 上の函数を考えるときは、無限遠点における留数というものを考えることができる。無限遠点 "z" = ∞ に孤立特異点を持つ解析函数 "f"("z") に対し、"z" = 1/ζ なる変数変換を行えば、"g"(ζ) := "f"(1/ζ) は ζ = 0 に孤立特異点を持つ（あるいは正則な）解析函数だが、留数 Res "f"("z")"dz" はであることに留意すべきである。解析函数 "f"("z") はその孤立特異点 "z" = "a" の周りでローラン展開を持つ。これは、γ を含み "z" = "a" を中心とする適当な円環領域上で一様収束するから、γ 上項別積分可能でとなるが、コーシーの積分定理によりほとんどの項は消えてとなることがわかる。同様に、無限遠点 "z" = ∞ における留数は、"g"(ζ) := "f"(1/ζ) の ζ に関するローラン展開がで与えられるならば、Res "f"("z") = −"b" を得る。ゆえに、ローラン展開が既知あるいは容易に計算することのできる函数については、積分を計算することなく直ちに留数を求めることができる。また、孤立特異点 "z" = "a" が "f"("z") の "n"-位の極であるなら、("z" − "a")"f"("z") は正則で、とくにとテイラー展開されるので、と計算することができる。単純閉曲線 γ と、γ が囲む有界領域 "D" を考える。"D" 上で定義される関数 "f"("z") が "D" 内に孤立特異点 "a

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