数学において、有理型関数（ゆうりけいかんすう、meromorphic function）あるいは、関数が有理型（ゆうりけい、meromorphic）であるとは、複素数平面あるいは連結リーマン面のある領域で定義され、その中で極（仮性特異点）以外の特異点を持たない解析関数（特異点以外では正則な関数）のことを指す。有理型関数は正則関数の商として表すことができ、その分母となる正則関数の零点が元の有理型関数の極となる（分母は定数関数 0 ではない）。多項式関数は正則であるから、例えば formula_1 のような有理関数は全て C 上有理型である。また、関数 formula_2 や formula_3 も C 上有理型で、ガンマ関数やリーマンのゼータ関数も同様である。一方、対数関数 formula_4 や formula_5 は C 上有理型でない。例えば後者は formula_6 に真性特異点を持つ。リーマン面の言葉で言えば、有理型関数というのは、「リーマン球面への正則関数であって、常に formula_8 の値をとる定数関数ではないもの」ということと同じである。このとき有理型関数の極とはリーマン球面の無限遠点 formula_8 へ移される複素数のことである。

出典:wikipedia