素数計数関数（）とは、正の実数にそれ以下の素数の個数を対応させる関数のことであり、("x") で表す。数論の歴史において ("x") の増大度は重要な関心事とされてきた。18世紀の数学者オイラーは、素数列の逆数の和が発散することを示した（素数の無限性の証明を参照）。平方数の逆数の和は収束するため、これは ("x") が平方数ほど速く増大しないことを示している。1808年、ルジャンドルは以下の等式を示した。ここで formula_2 はメビウス関数、formula_3 はガウス記号であり、和は 以下のすべての素数の積 "P" のすべての正の約数 "d" を動く。この式より、が導かれる。18世紀末には、("x") が formula_5 に漸近近似できること、即ちが成り立つであろうということが、ガウスにより予想されていた。1850年頃にチェビシェフは、この等式の左辺がもし極限を持つならば、それは1でなくてはならないことを示した。その後もこの予想は長らく証明されなかったが、1896年になってジャック・アダマールとにより独立に証明され、現在では素数定理と呼ばれている。彼らの証明は、リーマンゼータ関数の性質を用いている。長い間、解析的方法を用いなければ素数定理を証明することはできないと信じられていたが、1948年頃、セルバーグとエルデシュは複素解析を用いない素数定理の証明を（ほぼ独立に）発見した。それらの証明では、数論的関数の初等的評価のみを用いていた。1859年リーマンは、("x") をゼータ関数の非自明な零点を用いて表す式を発見した。ここで formula_8 は、と定義され、和の ρ はゼータ関数の全ての非自明な零点をわたる。以下に ("x"), "x" / ln "x" および li "x" の3つの関数を10の冪において比較した表を掲載する 。 オンライン整数列大辞典において ("x") , ("x") − "x" / ln "x"、li "x" − ("x") の値はそれぞれ, , に掲載されている。(10) の値は初めJ. Buethe、J. Franke、A. Jost、およびT. Kleinjungらによりリーマン予想の仮定の下で計算されたが 、後にD. J. Plattによりコンピュータを用いて検証された。上述のルジャンドルやリーマンらによる公式以外にも、("x") を表す公式がいくつか存在する。例えばWilliansは、ウィルソンの定理に基づき次の初等的な公式を与えている。ここで formula_11 は、ガウス記号を用いてと定義される関数である。これが ("x") を表す理由は単純で、"F"("j") は合成数ならば 0、その他の値に対しては 1 を取るからである。ウィルソンの定理と同様、この公式も実用的な計算には用いることができない。その他、ドイツの数学者Meisselによる巧妙な漸化関係を持つ公式などが知られている。Meisselは1885年自身の公式を用いて (10) の値を求めた。("x") と の関係として以下の不等式が知られている。左の不等号は "x" ≥ 17 で、右の不等号は "x" > 1 で成り立つ。ピエール・デザルトは2010年に次の2つの不等式を示した。

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