多様体 がポアソン多様体（ポアソンたようたい、）であるとは、 上の 級関数全体のなすベクトル空間を と表すとき、次の性質を満たす写像 formula_1 が存在することをいう。このとき、写像 formula_1 を 上のポアソン構造、もしくはポアソン括弧と呼ぶ。formula_8 をシンプレクティック多様体とする。このとき、formula_9上にポアソン構造が次のようにして定義できる。ここで、formula_11 はそれぞれ formula_12 から定まるハミルトンベクトル場である。従って、シンプレクティック多様体はポアソン多様体でもある。しかしながら、ポアソン多様体がシンプレクティック多様体であるとは限らない。formula_13 をダルブー座標とすると、シンプレクティック多様体上のポアソン構造は、と書ける。

出典:wikipedia