メンガーのスポンジとは自己相似なフラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元（ハウスドルフ次元、相似次元）は log20/log3(=2.7268...)次元である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形のシェルピンスキーのカーペットでできている。メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に作図することはできない。メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである面積は無限である。実際、表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその表面積はformula_1ずつ増加するため、穴を空ける回数をformula_2とすると最終的に表面積はformula_3と無限大に発散する。メンガーのスポンジの次元は3より小さいため、3次元的な大きさである体積は 0 である。実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積はformula_4ずつ減少するため、穴を空ける回数をformula_2とすると最終的に体積はformula_6となりformula_7に収束する。

出典:wikipedia