数学においてパンルヴェ方程式（パンルヴェほうていしき、）は、（動く特異点が極であるという）パンルヴェ性 を備えた特定の種類の二階非線型の複素常微分方程式である。パンルヴェ方程式は一般には初等関数の範囲で解くことはできず、パンルヴェ方程式の解としてパンルヴェ超越関数 と呼ばれる複素変数の特殊関数が定義される。名の由来は後にフランス首相の座に就くポール・パンルヴェの著した論文 から。パンルヴェ超越関数の起源は、微分方程式の解としてしばしば現れる特殊関数の研究および、線型微分方程式の等モノドロミー変形の研究にある。たとえば楕円関数などは特殊関数のクラスのなかでも特に有用なものの一つである。パンルヴェ超越関数は、方程式の特異点がパンルヴェ性を満たす二階常微分方程式の解として定められる。ここで、パンルヴェ性とは「動く特異点は極に限る」というものである。線型常微分方程式はつねにパンルヴェ性を持つが、非線型方程式でパンルヴェ性を持つものは稀である。アンリ・ポアンカレとはパンルヴェ性を持つ一階方程式が、必ずワイエルシュトラス方程式かリッカチ方程式に変形できることを示した（これらの方程式は求積法と既知の特殊関数によって明示的に解ける）。エミール・ピカールは一階よりも高階の動く真性特異点をもつ方程式に着目して、パンルヴェ性をもつ新たな例を探ろうとして失敗に終わっている（二階より高階の方程式では、解が動く自然境界を持ち得る）。1900年頃、ポール・パンルヴェは動く特異点を持たない二階微分方程式を研究していて、そのような方程式で有理関数 "R" を用いての形に表されるものは、適当な変形を加える違いを除いて50個の「標準形」に直すことができることを発見した（一覧表が にある）。さらにパンルヴェが見逃していた最も一般の形の第六方程式は、1905年に（ラザラス・フックスの息子）リチャード・フックスによって、モノドロミーを保つ変形のもとで P 上に4つの正常特異点をもつ二階のフックス型方程式の特異性によって満たされる微分方程式として発見された。これは でパンルヴェ方程式のリストに加えられている。以下の6種類の方程式に、伝統的にパンルヴェ I から VI までの番号が振られている（括弧内は発見者）。ここでパラメータ α, β, γ, δ は複素定数である。III-型方程式では "y" と "t" をスケール変換してパラメータをふたつ減らすことができ、同様に V-型はパラメータをひとつ減らせる。つまりこれらの方程式では本当の意味での独立なパラメータはそれぞれ2つ、および3つである。パンルヴェ方程式が持ち得る特異点は次のようなものである。パンルヴェ I-型では、特異点は動く二位の極か留数 0 の点になり、その解は複素平面上にそのような極を無限個持つ。"z" に二位の極を持つ関数は、"z" の近傍で収束するローラン展開をもつ（"h" は適当な複素数）。極の場所は に詳しく載っている。半径 "R" の球に含まれる極の数は、だいたい "R" の定数倍程度増加する。 II-型では全ての特異点が（動く）一位の極である。パンルヴェ I から V まではパンルヴェ VI の退化した場合になっている。もう少し詳しくは、以下の図式の如くだが、この図式は対応するガウスの超幾何関数の退化の系列をも与えている。パンルヴェ方程式は何れもハミルトン系として表現することができる。例:とおくと、パンルヴェ II 方程式はハミルトニアンに対するハミルトン系に同値である。は独立変数・従属変数を変換して、微分方程式を相似な微分方程式に変換するものだが、パンルヴェ方程式は何れもベックルント変換からなる離散群の作用を持ち、ベックルント変換によりパンルヴェ方程式の既知の解から別の新しい解を得ることができる。パンルヴェ第 I 方程式 の解全体の成す集合には位数 5 の対称性を持つ変換 "y" → ζ"y

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