グリーン関数（グリーンかんすう）はグリーン関数 (Green's function) とは、微分方程式や偏微分方程式の解法の一つであるグリーン関数法に現れる関数である。グリーン関数法は、英国の数学者ジョージ・グリーンによって考案された。下の偏微分方程式の（初期値）境界値問題を例に考える。formula_1
formula_2
formula_3ここで、L は微分作用素、Ω は領域であり、領域の境界 Γ は、formula_4 が規定されている境界 Γ と、formula_5 が規定されている境界 Γ からなり、Γ ∪ Γ = Γ、Γ ∩ Γ = ∅ であるものとする。また、"n" は境界での外向き法線方向を示す。上記の問題に対するグリーン関数 "G"(x, x′) とは次の条件を満たす関数のことである。ここに、x′ はソース点の位置を表す。物理学、数学、工学各分野において非常に重要な関数であり、広い用途で使用される。プロパゲータ、伝播関数と呼ばれることもある。また、無限領域におけるグリーン関数を基本解という。ただし、境界が単純（無限領域、半無限領域、無限平板領域など）でない場合にはグリーン関数を解析的に求めるのは大変困難である。グリーン関数はもともと微分方程式の境界値問題に現れる関数であるが、量子物理学ではこれを拡張して使っている。つまり物理学においてグリーン関数は2通りの意味で扱われている。物理学では、微分方程式を直接解く代わりに、まず単純な点源問題の解であるグリーン関数を求めた後、重ね合わせの原理によって微分方程式の解をグリーン関数を用いて表す。電磁気学におけるポアソン方程式formula_6の解formula_7を求めたい。この方程式の解として積分方程式formula_8を仮定し、ポアソン方程式に代入するとグリーン関数formula_9の満たすべき式が得られる。これを解くために両辺をフーリエ変換すると、formula_9のフーリエ変換formula_12が得られる。これを逆フーリエ変換するとグリーン関数formula_9が求まる。よってポアソン方程式の解は次のように求まる。以上のことから、位置formula_16の点電荷が別の位置formula_17に作る静電ポテンシャルを表したものがグリーン関数であり、これを重ね合わせたものが電荷分布formula_18の作る静電ポテンシャルformula_7であることがわかる。

出典:wikipedia