メルセンヌ数（メルセンヌすう、）とは、2の冪よりも 1 小さい自然数、すなわち （ は自然数）の形の自然数のことである。これを で表すことが多い。2進数表記では、 桁の となる。上記の数列において、素数であるメルセンヌ数をメルセンヌ素数（メルセンヌそすう、）という。 が素数ならば は素数であるが、逆に が素数であっても は素数とは限らない ()。後述するように、効率的な素数判定法によって、巨大な素数の実例としてメルセンヌ素数を発見することが特に興味の対象となっている。このため近年では、分散コンピューティングによるプロジェクト GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) によるメルセンヌ素数の発見が進められている。具体的なメルセンヌ素数はである。詳しくは#発見されているメルセンヌ素数の表を参照のこと。なお、「メルセンヌ数」という語で、 が素数であるもののみを指したり、さらに狭くメルセンヌ素数を指す場合もある。1644年にマラン・メルセンヌは、 が素数になるのは、 では だけであると主張した。しかしその主張の一部は誤っていた。リストに含まれていない , , が素数であり、リストに含まれている , は合成数である。を黒板に計算し、 と一致することを証明した。この間一言もしゃべらず、席に戻った後、少し間を置いて拍手が沸き起こったと伝えられている。1952年、ラファエル・M・ロビンソン が SWAC を利用して から まで、5つのメルセンヌ素数を発見して以降、発見にはコンピュータが使用されており、コンピュータの進歩と共に新たなメルセンヌ素数が発見されつつある。 が素数ならば は素数であるが、 が素数であっても は素数とは限らない。前者の対偶である命題「 が合成数ならば は合成数である」は次の式から示される。 が素数の時、 の素因数は を法として と合同、かつ を法として または と合同である。また、 が を法として と合同なとき、 が で割れることと、 が素数であることは同値である。また、 の最大の素因数 は （ は計算可能な定数）を満足する（Erdős-Shoreyの定理1）。 が素数であるならば、 は完全数となる。この定理はすでに紀元前4世紀のエウクレイデス（ユークリッド）によって証明されていた。およそ二千年の後に、全ての偶数の完全数はこの形の時に限るということが18世紀のレオンハルト・オイラーにより証明された。現在、メルセンヌ素数は49個まで知られている。ただし、メルセンヌ素数としての番号が確定しているものは、45番目までであり、分散コンピューティングによるプロジェクト GIMPS はメルセンヌ素数を発見することを目的としており、近年発見されたものは全てこのプロジェクトによるものである。メルセンヌ数が素数かどうかを調べるための判定法としてリュカ・テスト () とリュカ-レーマー・テスト () がある。 が 型の素数のとき、, と定義すると、は、エドゥアール・リュカの判定法を改良し、今日ではリュカ-レーマー・テスト () と呼ばれる、メルセンヌ数に対する素数判定法を確立した。リュカ-レーマー・テストは二進計算機用のアルゴリズムに向いており、コンピュータによるメルセンヌ素数の発見には、この判定法が用いられてきた。例えば、 より、 が成り立つので、 で割る割り算の代わりに、二進法で 桁のシフト演算と足し算だけで計算できる。現在「最大の」素数がメルセンヌ素数である理由はこの判定法にあると言える。46-49番目は未確定の順番。過去には29番目のメルセンヌ素数は30, 31番目が発見された後に発見されている。また47番目の後に45, 46番目が発見されている。

出典:wikipedia