テイラー展開（テイラーてんかい、）とは、無限回微分可能関数 から、テイラー級数（テイラーきゅうすう、）と呼ばれる冪級数を得ることを言う。名称は数学者ブルック・テイラーに由来する。点 を含む開区間 上で無限回微分可能な実数値関数 が与えられたとき、べき級数を関数 の点 まわりのテイラー級数という。ここで は の階乗、 は における の 次微分係数である。また、便宜的に は 1 であると定義する。テイラー級数が収束し、元の関数 に一致するとき、 はテイラー展開可能であるという。テイラー展開がある大域的な領域の各点で可能な関数は、その領域において解析的 である、またはその領域上の解析関数 であるという。ここで一般には関数 が無限回微分可能であってもそのテイラー級数が で収束するとは限らず、たとえ収束しても一致するとは限らないことに注意が必要である。一致するかどうかは、テイラーの定理における剰余項 が 0 に収束するかどうかによって判定できる；ここで剰余項 は、ある が存在して、と書ける。または積分を用いて、次のように表せる；また、この剰余項を評価することで関数の近似値を精度保証つきで数値的に求めることもできる（テイラーの定理#例を参照）。特に における以下の様な展開をマクローリン展開（マクローリンてんかい、; 名称は数学者コリン・マクローリンに由来する）と呼ぶ。テイラー展開図であらわして、一次、二次、三次までをブロックで説明すると分かりやすい。いくつかの重要な関数のテイラー展開を以下に示す。これらはすべて複素解析的な関数であり、複素変数であると考えても成り立つ。 の展開に現われる はベルヌーイ数である。 二項展開の formula_29 は二項係数である。 の展開に現われる はオイラー数である。テイラー展開は一変数関数のみならず、多変数関数にも適用できる。 変数関数 のテイラー展開は以下の式である。多重指数記法を用いれば、 変数関数 のテイラー展開は次式で表現される。アインシュタインの縮約記法を用いれば、多変数関数 のテイラー展開は次式である。上式の は微分演算子であり、ベクトル解析の記法では に置き換えられる。一番後ろに があるが、これは に左の演算子を作用させてから の引数として を与えることを表していることに注意する。

出典:wikipedia