数学、とくに位相幾何学において、"n" 次元の単体（たんたい、"simplex"）とは、「"r" ≤ "n" ならばどの "r" + 1 個の点も "r" − 1 次元の超平面に同時に含まれることのない」ような "n" + 1 個の点からなる集合の凸包のことで、点・線分・三角形・四面体といった基本的な図形の "n" 次元への一般化である。単体は、頂点の位置さえ決めればそれのみによって一意的に決定される。さらに単体は単体的複体や鎖複体などの概念を与えるが、これらはさらに抽象化されて、幾何学を組合せ論的あるいは代数的に扱う道具となる。また逆に、抽象化された複体の概念から単体が定義される。"r" + 1 個の点（の位置ベクトル） a, a, ..., a があり、これらすべての点が R の "r" − 1 次元以下の部分空間に含まれることはない（これを一般の位置にあるという）ものとする。このとき、を、a, a, ..., a によって生成される（あるいは張られる） "r" 次元単体 ("r"-dimentional "simplex") あるいは単に "r" 単体 ("r"-"simplex") という。また、a, a, ..., a をこの単体の頂点 (vertex) といい、"V" = {a, a, ..., a} を頂点集合とよぶ。二つの単体が頂点を共有し、一方が他方に含まれるとき、含まれる単体を他方の単体の面 ("face") であるという。特に、"m" 次元単体であるような面を "m" 次元の面 ("m"-"face") という。たとえば、頂点は 0 次元面である。また特に 1 次元面を辺と呼び、余次元 1 の面をファセット（"facet"、切子面）と呼ぶ（ここで「余次元」というのは、含む単体の次元とその面の次元との差のことである）。位相的な単体の中で標準的な対象と考えられるべきものには二種類あり、各々に一長一短がある。一方は 重心座標 を用いて、他方は 単位の分割 により表示される。多くの場合に単位の分割による後者の単体が 標準単体（standard simplex）と呼ばれ、その様な場合に前者の単体は 単位単体（unit simplex）と呼ばれることがある。これらはもちろん無関係ではなく、次の同相写像によって同一視される。いずれを標準単体として採用する場合も、記号としては formula_14 あるいは formula_15 が用いられることが多い。ただし、formula_17 とする。単体は頂点集合の凸包であるということ、単体の面は頂点集合の部分集合を選ぶことと対応しているという性質から、「頂点集合を決めれば、単体はそれが含む全ての面とその包含関係まで込めて特定される」ことが理解される。もう少し正確には、単体が他の単体に面として含まれることを面関係 (face relation) と呼ぶことにすると、「ある単体の面全体の成す集合に面関係による順序を入れたものは、頂点集合の冪集合が包含関係に関して作る順序集合とみなすことができる」ということである。なお、位相幾何学的には凸性はあまり意味を持たないが、各面を連続的に動かして移りあう図形を区別しないため、やはり頂点を決めれば（それらをあらゆる次元ですべて繋ぐことで）単体は一意的に決定され、上と同じことを考えることができる。重要なことは、単体を、それが含む面の全体を考えて、頂点集合の部分集合の族とみなすことである。

出典:wikipedia