多角数定理（たかくすうていり、polygonal number theorem）とは、「すべての自然数は高々 "m" 個の "m" 角数の和である」という数論の定理である。"m" = 3 の場合を三角数定理、"m" = 4 の場合を四角数定理というが、五角数定理といえば全く別のオイラーの五角数定理を指す。多角数定理は1638年にフェルマーによって定式化されたが、 三角数については1796年にガウスによって、 四角数については1772年にラグランジュによって、一般には1813年にコーシーによって証明された。"k" 番目の "m" 角数とは、次の公式で与えられる数のことである。直観的には、たとえば石を、一辺に "k" 個ある正 "m" 角形の形に敷き詰めて並べることができるとき、石の総数が "k" 番目の "m" 角数になっている。これは古代ギリシャ人たちが名づけた名前であって、素数はどのような図形にも並べることができないことから、直線数とも呼ばれていた。例えば、三角数とは 1, 3, 6, 10, 15, … のことである。また四角数は平方数の列 1, 4, 9, 16, … に他ならない。1番目の "m" 角数は 1 であり、2番目の "m" 角数は "m" である。"N" = 2"m" - 1 を表すには "P"(2) + ("m" - 1)"P"(1) とするより他にないから、"m" 個未満の "m" 角数の和では表されない自然数がある。"N" = 9"n" + 8 は二個の三角数の和で表されない（法 9 の計算で自明）から、三個未満の三角数の和で表されない自然数は無数にある。"N" = 8"n" + 7 は三個の四角数の和で表されない（法 8 の計算で自明）から、四個未満の四角数の和で表されない自然数は無数にある。しかし、五角数以上について、"m" 個未満の "m" 角数で表されない自然数は有限個である。"m" ≥ 6 のとき、十分に大きな自然数 "N" ≥ 108("m" - 2) は "m" - 1 個の "m" 角数の和で表される。また、"m" ≥ 5 が奇数のとき、十分に大きな自然数 formula_2 は四個の "m" 角数の和で表される。また、"m" ≥ 6 が偶数のとき、十分に大きな奇数の自然数 formula_3 は四個の "m" 角数の和で表される。三平方和定理によりと表されるからとなる "x

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