複素解析において、正則関数（せいそくかんすう、"holomorphic function"）とは、ガウス平面あるいはリーマン面上のある領域の全ての点で微分可能であるような複素変数複素数値の関数のことである。正則関数とは、複素関数（複素数を変数とし、複素数に値をもつ関数）のうちで、定義域（または議論の対象とする領域）の全ての点で微分可能な関数の事である。領域内の全ての点で微分可能であるという性質は、正則性といわれる。多項式関数、 指数関数、三角関数、対数関数、ガンマ関数, ゼータ関数など、複素解析において中心的な役割を演じる関数の多くはこの性質を持っている。複素関数が正則であることを仮定すると、その関数は各点で何回でも微分することができる。すなわち、実関数（実数を変数とする関数）とは違って微分可能な回数に縛られることはなく、複素関数においては正則であるか否か、すなわちある特定の集合の全ての点で1回微分可能であるか否かの差異があるのみである。このような1回微分可能ならば何回でも微分可能という性質は、複素関数のもつ最も大きな特徴であると同時に、他の関数の微分とは一線を画す特異な性質でもある。微分可能性についての複素関数と他の関数の著しい相違の原因は、そもそもの微分の定義の違いにある。実変数の場合、極限は直線的な近づき方のみしかないが、複素関数の場合の極限は2次元平面の任意の曲線に沿った近づき方が許される。よって、実変数の極限よりも複素変数の極限の方がより強い条件となるので、複素関数の微分可能性の方が実関数のそれよりもより多くの内容をもつ。では、平面を定義域とする2次元ベクトル場と複素平面を定義域とする複素関数との相違は何かといえば、それは代数的構造である。ベクトル場では、定義域・値域のベクトル空間は体ではないため、商が定義されていない。よって、微分に対しても商を用いた定義をすることができないため、ベクトル場は正則関数のような強い特徴は持たない。複素関数の定義域・値域である複素数体には商が定義されているので、ごく自然に微分係数を商で定義することができる。また、「ごく自然に微分係数を商で定義すること」の結果として、コーシー・リーマンの方程式を経由し、調和関数と正則関数は関係付けられる。正則関数の特異で便利な性質は、調和関数の性質を引き継いだものとして捉えることができる。さらに、正則であれば何回でも微分可能ということから、正則関数は冪級数に展開されるので、複素関数に関しては、それが正則関数であるということと解析関数であることとは同じである。また、一致の定理により正則関数はその特異点を含まない領域へ一意的に拡張（解析接続）することができる場合がある。ガウス平面の全域で正則である複素関数は整関数であるといい、正則関数の商として得られる関数は有理型関数という。ガウス平面 C 内の開集合 "D" と "D" 上で定義される複素関数 "f"("z") について、"a" ∈ "D" に対し極限が定まるとき、すなわち "D" 内で "z" を "a" に近づけるとき、どのような近づけ方によっても右辺の商がただ一つの値に収束するとき、複素関数 "f"("z") は点 "a" で、あるいは "z" = "a" で複素微分可能または単に微分可能であるといい、この極限値をと書いて、複素関数 "f"("z") の点 "a" あるいは "z" = "a" における微分係数と呼ぶ。複素関数 "f"("z") が "D" で複素微分可能である、すなわち "D" の全ての点で複素微分可能であるとき、複素関数 "f"("z") は 開集合 "D" において正則であるといい（集合における正則性）、複素関数 "f"("z") は "D" 上の 正則関数であるという。また、複素関数 "f"("z") が点 "a" で複素微分可能なだけでなく、点 "a" を含む適当な（どんなに小さくてもよい）近傍 "U"("a") でも複素微分可能である（近傍 "U"("a") の全ての点で複素微分可能である）とき、複素関数 "f"("z") は点 "a" で正則であるという（1点における正則性）。"f

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