ジョルダン標準形（ジョルダンひょうじゅんけい、）とは、代数的閉体（例えば複素数体）上の正方行列に対する標準形のことである。任意の正方行列は本質的にただ一つのジョルダン標準形と相似である。代数的閉体 成分の 次正方行列をジョルダン細胞という。任意の正方行列 に対してとなる正則行列 が存在する。このとき は の固有値である。この行列 のことを行列 のジョルダン標準形という。代数的閉体 上の有限次元線形空間を とし、線形変換 をとる。また が 冪零（nilpotent） であるとは、ある自然数 が存在して となることである。任意の線形変換 に対して、半単純線形変換 と冪零線形変換 でを満たすものが一意的に存在する。このとき のことを（加法的）ジョルダン分解といい、線形空間 の基底 formula_5 が線形変換 のジョルダン基底 であるとは、 とおきたときが基底の任意の元 について成り立つことである。ジョルダン基底に関する の表現行列がジョルダン標準形である。対角行列は次数が1のジョルダン細胞のみからなるジョルダン標準形である。次の複素成分正方行列 のジョルダン標準形は次のようになる。また次で定めるベクトル , は と とを満たすので行列 のジョルダン基底である。この行列 の半単純成分 と冪零成分 への分解は次のようになる。この分解は や が成り立つので、行列の指数関数や冪乗の計算に役立つ。 次正方行列 のジョルダン標準形は次のように計算できる。以下では で 次単位行列を表す。証明は線形空間の次元 formula_13 についての帰納法で、formula_14 ならすべての基底がジョルダン基底だからOK、formula_15 までOKとして、 formula_13 とする。次の明らかな補題が証明の鍵である。この補題により formula_21 の場合に示せばよい。このとき formula_22 とすると、帰納法の仮定で、formula_23 のジョルダン基底 formula_24 がとれる。番号を formula_25、formula_26 なら formula_27 となるようにとる。formula_28 は formula_29 の元で線形独立だから、これらに formula_30 を加えて formula_29 の基底を作る。また formula_32 の元 formula_33 を formula_34 となるようにとる。このとき formula_35 個のベクトルformula_36 が線形独立であることは容易にわかり、これらは formula_32 の基底である。formula_38 と番号づけると、これが formula_12 のジョルダン基底となる。[証明終わり]formula_40 で formula_12 が行列 formula_42 で表されるとき、 formula_43 なら、 formula_44 が線形独立としてよい。このときformula_45 は行変形でformula_46 と簡約化される。命題の証明は略するが、これを用いると上のジョルダン基底の存在証明は、同時に行列のジョルダン標準形と変換行列を求めるアルゴリズムにもなっている。

出典:wikipedia