数学におけるトポス（topos）とは、位相空間上の層のなす圏を一般化した概念である。アレクサンドル・グロタンディークによるヴェイユ予想解決に向けた代数幾何学の変革の中で、数論的な図形（スキーム）の上で有意義なホモトピー・コホモロジー的量が定義できる細かい「位相」を考えるために導入された。 その後数理論理学者たちによる更なる公理化を経て、集合論のモデルを与える枠組みとしても認識されるようになった。有限極限を持つ圏 Eがカルテシアン閉であるとは、任意の対象"X"について"X"と直積を取る関手"X" × -: E→Eに右随伴関手(-): E→Eが存在する事をいう。 例えば集合の圏"Sets"や有限集合の圏"FinSets"はカルテシアン閉だが位相空間の圏"Top"はカルテシアン閉でない。一般に圏 E の対象"A"の部分対象とはコドメインが"A"であるモノ射の同型類の事を言う。モノ射の引き戻しがモノ射になる事から、引き戻しを持つ圏Eについて各対象"X"に"X"の部分対象を与える関手"Sub"(-):E→"Sets"が定義される。圏Eの部分対象分類子(subobject classifier)とは、この関手を表現する対象の事をいう。圏 E は(初等)トポス(elementary topos)であるとは、Eがカルテシアン閉で部分対象分類子を持つ事をいう。たとえば、"Sets" や"FinSets"は部分対象分類子として二点集合を持つのでトポスになる。EとF がトポスのとき、関手 "f": E → F と完全関手 "f": F → E の対 ("f

出典:wikipedia