数論において代数的整数（だいすうてきせいすう、）とは、整数係数モニック多項式の根となるような複素数のことを言う。代数的整数の全体 A は加法と乗法について閉じており、ゆえに複素数環 C の部分環をなす。この環 A は有理整数環 Z の C における整閉包となっている。代数体 "K" の整数環 "O" は "K" ∩ A に等しく、また体 "K" の極大整環（）となっている。全ての代数的整数はそれぞれ何らかの代数体の整数環に属している。"x" が代数的整数であることは、環 Z["x"] がアーベル群として有限生成（即ち有限生成 Z-加群）であることと同値である。以下は α ∈ "K" が代数的整数であることの同値な定義である。ここで "K" は代数体（有理数体 Q の有限拡大）とする。原始元定理より、この "K" は適当な代数的数 θ ∈ C によって "K" = Q(θ) とすることもできる。代数的整数は有限拡大 "K" / Q の整元となっている。即ち代数的整数は環の拡大における整元の特別な場合である。

出典:wikipedia