重根（じゅうこん、英称："multiple root"）とは、1 変数多項式 "f"("x") の根のうち重複度が2以上のもののことをいう。1 変数多項式 "f"("x") が、定数 "a"≠0 ,α,α, … α を用いての形に因数分解され、α, α, ..., α の中に 2 つ以上同じ値がある場合、その値を "f"("x") の重根という。方程式 "f"("x") = 0 の解は一般につまり "xy"-座標系において "y" = "f"("x") と "x" 軸との交点の "x" 座標である。 "f"("x")が1変数多項式のとき、 "y" = "f"("x") が"x"=αで "x" 軸に接するなら、αは "f"("x") の重根となる。したがって"f"("x")は"x"=αでの微分も0となり、"x"=αが"f"("x") の重根であることとであることは同値である。体 "K" 上の多項式 "f"("x") と "K" の元 α に対し、("x" - α) | "f"("x") が成立するとき、すなわち 2 以上の自然数 "k" と多項式 "g"("x") でを満たすものが存在するとき、α を "f"("x") の重根という。特に "g"("x") が α を根に持たないならば、"k" を根 α の重複度（ちょうふくど、"multiplicity"）という。多項式 "f"("x") の根を α, α, ..., α とし、その全体から作られる最簡交代式（差積）の平方を多項式 "f"("x") あるいは方程式 "f"("x") = 0 の判別式（はんべつしき、"discriminant"）という。これは「代数方程式が重根を持つかどうか」 を判別するための式である。すなわち、判別式が 0 であることとその代数方程式が重根を持つこととが同値となる。このことは判別式を差積に取り替えても変わらない。にもかかわらず差積の平方を判別式とするのは、それが方程式の係数によって必ず記述できるからである。これは、によって保証される。たとえば、二次方程式 "ax" + "bx" + "c" = 0 の根を α, β とすると根と係数の関係によりが成り立ち、判別式すなわち差積の二乗はとなる。"a" > 0 であるので、実用上は分母を掃った "b" - 4"ac" を判別式として用いることが多い。

出典:wikipedia