冪集合（べきしゅうごう、）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。べきは冪乗の冪（べき）と同じもので、冪集合と書くのが正確だが、一部分をとった略字として巾集合とも書かれる。集合と呼ぶべき対象を公理的に構成的に与える公理的集合論では、集合から作った冪集合が集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ（冪集合公理）としてしばしば提示する。集合 formula_1 の冪集合は、冪を表す からとって、通常はなどのように記される。2 という表記は、一般に "X" が "Y" から "X" への写像全体の集合を表すことによる（後述）。集合 "S" が与えられたとき、"S" のどの部分集合をも元とする集合を "S" の冪集合と呼ぶ。例えばなどとなる。空集合の冪集合は空集合を唯一つの元として持つ一元集合であり、空集合とは別のものである。なおこの定義から明らかにである．冪集合は包含関係を順序として順序集合になる。冪集合を底となる集合、包含関係を順序とする順序集合 formula_9 （ここでの formula_10 は集合が一致する場合も含む）に順序同型な順序集合は単体様半順序集合 と呼ばれ、単体の一つの組合せ論的な特徴づけを与える（底となる formula_11 から空集合を抜いた順序集合を指すこともある）。また、冪集合 formula_11 に包含関係と逆の順序 formula_13を与えた順序集合 formula_15 は、もとの順序集合 formula_9 に順序同型で、その対応は補集合をとる操作によって与えられる。またこの対応で、集合の結びと交わりが互いに入れ替わる（双対性：ド・モルガンの法則）、対称差は不変（自己双対性）などを見て取ることができる。順序集合 formula_9 の部分集合である集合族が与えられたとき、集合族の結びや交わりをとる操作は、この集合族に対して包含関係による順序に関する上限と下限を与える。とくに、formula_1 の二つの部分集合 formula_22 についてを考えることにより、組 formula_25 は完備な束となる。完備束の条件は空で無い部分集合族に対する上限・下限の存在を要求するものであるが、冪集合の束では集合族 formula_26 が空集合であるときにもが冪集合 formula_11 の中に存在する。冪集合に定義される様々な集合演算は、冪集合を代数系として取り扱う手段を与えてくれる。たとえば、集合の結び formula_29 や交わり formula_30 は交換可能で結合的な演算であるから、半群として冪集合を見ることができる。さらに、結びに関する中立元は空集合 formula_31 であり、全体集合 formula_1 が交わりに関する中立元となるので、formula_33 や formula_34 はモノイドである。また、対称差 formula_35 を与えられた演算とする代数系 formula_36 は、空集合を単位元とし、補集合を逆元にもつ群になる。結び formula_29 と交わり formula_30 は互いに他に対して分配的であるので、formula_39 に環の構造を見て取ることができる。とくに冪集合 formula_11 を、集合の結び、交わり、補集合をとる操作および結び・交わりそれぞれに関する中立元を備えた代数系と考えたものはブール代数の例を与える。一方、事実として、任意の有限ブール代数は有限集合のべき集合が作るこのブール代数によって同型的に実現することができる。"S" の部分集合 "A" とその指示関数 "χ": "S" → {0, 1} すなわちを対応づけることにより、冪集合 2 と Map("S

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