直交行列（ちょっこうぎょうれつ, ）とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまり"n" × "n" の行列 "M" の転置行列を "M" と表すときに、"M"M" = "M" "M" = "E" を満たすような"M"のこと。ただし、 "E" は "n" 次の単位行列。有限次元実計量ベクトル空間の直交変換は、実直交行列（成分が全て実数の直交行列）によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは（必ずしも有限次元でない）実計量ベクトル空間 "V" において内積を変えない（等長性をもつ）線形変換 "f" のことである。すなわち、v, w を "V" の任意のベクトルとするときに、("f"(v), "f"(w)) = (v, w)が成り立つ。ただし、(·, ·) は内積を表す。formula_1次正方行列 formula_2 の 転置行列 formula_3 が formula_2の逆行列になっているとき、すなわちformula_5を満たすとき、formula_2 は直交行列であるという。直交行列は内積を保つ線型変換としても定義できる。実計量ベクトル空間 formula_7 の任意のベクトル formula_8 に対し、内積を formula_9 とする。formula_8 が行列 formula_2 により formula_12 に変換されたとき、内積はとなるので、行列 formula_2 が直交行列であるのは計量ベクトル空間 formula_7 の内積を変えないとき、かつそのときに限る。"n" 次直交行列全体の集合を "n" 次直交群といい、formula_16と書く。行列式の値が1となる直交行列全体の集合を特殊直交群といい、formula_17と書く。2次元ユークリッド空間において、原点を中心に角 θ の回転をあらわす2次直交行列は以下で表される。2次の正方行列において、1行目と2行目を置換させる置換行列は以下で表される。反射行列 formula_20 は、単位ベクトル formula_21 を以下のように反転させる性質を持ち、ハウスホルダー変換に使用される。

出典:wikipedia