運動エネルギー（うんどうエネルギー、）は、物体の運動に伴うエネルギーである。物体の速度を変化させる際に必要な仕事である。英語の は、「運動」を意味するギリシア語の （kinesis）に由来する。この用語は1850年頃ウィリアム・トムソンによって初めて用いられた。後述する一般的説明がなされる以前にも、。ここで は物体の速さ、 は物体の基準点からの高さ、 は重力加速度である。ニュートン力学において、物体の運動エネルギーは、物体の質量と速さの二乗に比例する。つまり、速度 v で運動する質量 m の物体の運動エネルギー K はで与えられる。ニュートンの運動方程式がと表されているとき、この力 F が時刻 t から t の間に為す仕事 formula_1 はend{align} となる。従って、物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい。特に物体に一定の力 F が加えられ、物体の位置が formula_2 から formula_3 まで、formula_4 だけ変化したとき、という等式が成り立つ。例えば物体が地表付近で自由落下する場合、重力加速度は一定と見なせるので、上記の等式が利用できる。また、力F を物体の質量"m" と加速度 α の積で置き換えれば、等式は物体の質量に依存しない形に書き直される。同様に回転運動をする物体の運動エネルギーは、慣性モーメント "I" と角速度 ω の2乗に比例する。であるからラグランジュ力学の出発点となるラグランジアン "L" は運動エネルギー "K" とポテンシャルエネルギー "V" の差として定義することができる。この際、ラグランジアンの変数は一般化座標 formula_9 とその時間微分 formula_10、及び時刻 formula_11 である。多くの場合、一般化座標として位置 formula_12 や 回転角 formula_13 とするので、運動エネルギーはとなる。ハミルトン力学の出発点となるハミルトニアン"H" はラグランジアンのルジャンドル変換から、として定義される。ハミルトニアンの変数は一般化座標 formula_9 と一般化運動量 formula_17 である。元のラグランジアンでポテンシャルが formula_10 に依存せず、運動エネルギーが上の形をしていれば、( l は回転角度 θ に共役な角運動量)となり、運動エネルギーはとなる。

出典:wikipedia