ディリクレの関数（ディリクレの-かんすう）とは、実数全体の成す集合 R 上で定義される次のような関数のことである。ただし、Q は有理数全体の成す集合である。式から分かるように、この関数はいたるところで不連続である。さらに、が成り立つから、（sup∫ を上積分、inf∫ を下積分という）ディリクレの関数はリーマン積分不可能であることが分かる。（ルベーグ積分は可能で、その値は 0 である。これは、可算無限集合である Q はルベーグ測度に関して零集合であることによる）この関数は、任意の有理数aに対して formula_4 となる。これは有理数全体の集合が加法について閉じていることによる。また、この関数は無限個の周期を持ち、かつ定数関数とならない一例である。ディリクレの関数は、ディリクレ本人によって、と表せることが示されている（したがってディリクレ関数は 2 階のベール関数の一例である）。その方法は次による。任意の有理数 "q" を考える。"n"! "q" は、十分大きな "n" に対して恒等的に整数である。それに比べ、無理数 "r" は、いくら "n" を大きく取っても "n"! "r" が整数にならない。従って、ディリクレの関数は、次のように変形できる。ただし、Z は整数全体の成す集合。さてここで、関数を表示できれば、"f"("x") = lim["n"→∞] F("n"!"x") となって決着がつく。（"F" は単独で考えても興味深い関数である。） "F" は、不連続でありながらも周期的である。一定の周期を持つ関数として三角関数を考える。cos(π"x") は、"x" が整数であれば 1 を返し、それ以外であれば [0, 1) 内の実数を返す。[0, 1) 内の実数は、無限回冪乗することによって 0 に収束させることが出来る。また、1 はいくら冪乗しても常に 1 となって変化しない。これより、が結論付けられる。従って、となる訳である。

出典:wikipedia