数学におけるベクトル空間の双対ベクトル空間（そうついベクトルくうかん、）あるいは単に双対空間（そうついくうかん、）は、そのベクトル空間上の線型汎函数（一次形式）全体の成す空間として定義される。有限次元ベクトル空間の双対空間はテンソルの研究に利用することができる。函数の成す（典型的には無限次元の）ベクトル空間に対する双対空間は、測度や超函数、あるいはヒルベルト空間のような概念の定義や研究に用いられ、結果として双対空間は函数解析学の研究における重要な観念となっている。一般に双対空間には、代数的双対と連続的双対の二種類が用いられており、代数的双対は任意のベクトル空間に対して定義することができるが、位相線型空間を扱うときは代数的双対よりもその部分線型空間として、連続線型汎函数全体の成す連続的双対空間を考えるのが自然である。体 "F" 上の任意のベクトル空間 "V" の（代数的）双対空間 "V" は "V" 上の線型写像 （すなわち線型汎函数）全体の成す集合として定義される。集合としての "V" には、次の加法とスカラー乗法を定義することができて、それ自身 "F" 上のベクトル空間となる。この代数的双対空間 "V" の元を、余ベクトル（共変ベクトル）あるいは一形式と呼ぶこともある。双対空間 "V" の元である汎函数 φ と "V" の元との対をしばしば括弧を用いて あるいは で表す。この対の記法は非退化な双線型形式 を定める。このとき、 は "V" と"V" との間に双対性を定める、"V" と "V" を双対にする、あるいは "V" と "V" の双対性を表す内積 (duality pairing) であると言う。"V" が有限次元ならば、"V" は "V" と同じ次元を持つ。"V" の基底 } から双対基底と呼ばれる特別な "V" の基底を定義することができる。それは "V" 上の線型汎函数の集合 } で、係数 の選び方に依らずを満たすものとして定義される（上付きの添字が冪を意味するものではないことに注意せよ）。特に、一つの係数を , 残りをすべて とすることにより、関係式はに帰着される。ここに "δ" はクロネッカーのデルタである。例えば "V" が座標平面 R でその標準基底 } に選べば、e, e は , , , を満たす線型形式である。特に R を実数を成分とする "n"-項「列」ベクトル全体の成す空間と見做すとき、その双対空間は典型的には実数を成分とする "n"-項「行」ベクトル全体の成す空間として書かれ、その R への作用が通常の行列の積によって与えられるものと見做すことができる。"V" が平面上の幾何学的なベクトル（有向線分）からなる空間であるとき、"V" の元の等位曲線は "V" の平行線の族からなる。故に "V" の元は直観的には平面を被覆する特定の平行線族と見做すことができる。このとき、与えられたベクトルにおける汎函数の値を計算するには、そのベクトルが平行線族のどの線上にあるかを知るだけでよい。イメージとしては、そのベクトルが何本の平行線と交わるかを数えればよいことになる。より一般に、"V" を任意有限次元のベクトル空間とするとき、"V" に属する線型汎函数の等位集合は "V" の平行超平面族であり、汎函数の各ベクトルにおける値はこれら超平面を用いて理解することができる。ベクトル空間 "V" が有限次元でない場合にも適当な無限集合 "A" で添字付けられる基底 e は持つから、有限次元の場合と同様の構成によって、双対空間の線型独立な元の族 e () を作ることはできるが、これは必ずしも基底とならない。例えば、有限個の例外を除く全ての成分が であるような実数列全体の成す空間 R を考えると、これは自然数全体の成す集合 N で添字付けられる標準基底、すなわち各 に対して e は第 "i"-項が で他はすべて となるようなものを持つ。R の双対空間は全ての実数列からなる空間 R である。数列 ("a") の ("x") ∈ R への作用は ∑"ax" で与えられる（これは "x" の非零項が有限個しかないことから有限和である）。R の次元は可算無限だが、R の次元は非可算である。このような考察は任意の体 "F" 上の任意の無限次元ベクトル空間に対して一般化できる。基底 } を一つとって "V" を は有限個の例外を除く全ての に対して となるような写像 全体の成す空間 ("F") と同一視すれば、写像 "f" は "V" のベクトルと同一視される（"f" の仮定からこれは有限和だから意味を持ち、また基底の定義により任意の 箱の形に書ける）。そして "V" の双対空間は "A" から "F" への写像全体の成す空間 "F" に同一視される。実際、"V" 上の線型汎函数 "T" は "V" の基底におけるその値 によって一意に決定され、また任意の写像 ( ) はと置くことにより "V" 上の線型汎函数 "T" を定める（"f" は有限個の α を除いて全て だから、やはりこの和が有限であることに注意）。("F") は "F" をそれ自身 "F" 上一次元のベクトル空間と見做したものの "A" で添字付けられた無限個のコピーの直和と（本質的には定義によって）同一視できる。即ち線型同型が存在する。他方 "F" は（やはり定義によって）"A" で添字付けられる "F" の無限個のコピーのに同型である。同一視は加群の直積と直和に関する一般の場合の結果の特別の場合である。従って無限次元のとき、代数的双対は必ずもとの空間よりも大きな次元を持つ。これは連続的双対の場合には無限次元の場合でももとの空間と同型となる場合があることと対照的である。"V" が有限次元のとき、"V" はその双対 "V" とは同型であるが、それらの間に自然な同型は存在しない。"V" 上の任意の双線型形式 は "V" から双対 "V" への写像を与える。この右辺は 各 をスカラー 〈"v

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