ナビエ–ストークス方程式（ナビエ–ストークスほうていしき、）は、流体の運動を記述する2階非線型偏微分方程式であり、流体力学で用いられる。アンリ・ナビエとジョージ・ガブリエル・ストークスによって導かれた。NS方程式とも略される。ニュートン力学における運動の第2法則に相当し、運動量の流れの保存則を表す。流体の質量と運動量の保存則から、流れの速度場 のラグランジュ微分はと導かれる。ここで は密度場で、 は応力場、 は流体の質量あたりに作用する外力場（加速度場）である。ニュートン流体を仮定すれば、応力場がで与えられる。ここで は圧力（静圧）で、 は体積粘性率、 は剪断粘性率である。 は対称化した速度勾配で、デカルト座標の下で成分表示をすればで表され、 は速度の発散である。この形の応力場を用いると、速度場のラグランジュ微分がで与えられる。この方程式がナビエ–ストークス方程式である。また，左辺に質量流量保存則に速度を乗じたものを加えると，次のような表示もできる．ナビエ–ストークス方程式は複雑すぎて解を求めることは困難である。このため、いくつかの仮定をして問題を単純化することが多い。しかし単純化された方程式でも解析的な解法は知られておらず、数値的解法が必要であることが多い。粘性率 や は温度や圧力の関数であり一定ではないが、多くの場合に粘性率は一定とみなされる。この場合は粘性率の勾配を含む項を落としてとなる。非圧縮性流れでは、速度場の発散 がゼロなので、速度場の発散を含む項を落としてとなる。粘性率が一定で非圧縮性の流れではとなる。ここで は動粘性率である。レイノルズ数が小さい（すなわち流体の速度が遅かったりスケールが小さいなどの）場合に、非線型である対流項 formula_12 を無視した近似方程式をストークス方程式（Stokes equations）と呼ぶ。非圧縮性で粘性のない（）流れではとなる。この式はオイラー方程式と呼ばれている。非粘性で、速度場が非回転 (μ = 0) の場合の流れをポテンシャル流れという。熱輸送を伴う流れにおいて、温度による密度変化が大きくないとして扱う近似法をブシネスク近似という。流れが主流方向を持ち（逆流、再循環および剥離がない）、幾何的な変形が緩やかなときに行う近似法を境界層近似という。しばしば用いられる条件である、非圧縮性流れ (incompressible flow) ρ = const. の場合、ナビエ–ストークス方程式はと簡単化される。ここでformula_17は動粘性係数である。各項はそれぞれ、と呼ばれる。外力項には、状況によって、重力をはじめ浮力・表面張力・電磁気力などが該当する。上記の、非圧縮性流れに対するナビエ–ストークス方程式は、未知数として圧力formula_18 と流速formula_19 を含んでいる。したがって未知数決定に必要な方程式の数が足りない。そこで、質量保存則から導かれる連続の式（非圧縮性流れについては次の形）と連立することによって、原理的には解くことが可能である。もし一般解が求まれば、流体の挙動を完全に知る事ができることになるが、未だに一般解は発見されていない。また、解の存在可能性についても明らかとはなっておらず、物理学と数学の両方に跨る重要な課題の一つとなっている（ミレニアム懸賞問題、ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ参照）。従って、極めて特殊な制約条件の問題を除いて数値解析によって近似的に解を求める。流体の数値シミュレーション（数値流体力学、CFD）では、このナビエ–ストークス方程式と連続の式、その他必要に応じてエネルギーの式（熱対流）やマクスウェルの方程式（電磁流体力学）、状態方程式などを連立して、数値的に解くことで流体の挙動を予測する。移流と拡散両方に関係している現象であるので、クーラン数、拡散数の両方を満たすようにシミュレーションを行う必要がある。移流と粘性の強さの比率はレイノルズ数と呼ばれる無次元数であり、レイノルズ数がある閾値を越えると微小なかく乱が移流項の非線型性により拡大していくことで流れ場は非定常な乱流となる。一方、右辺の粘性率を含む項（粘性項）は乱流の変動を抑制する効果を持つ。

出典:wikipedia